Với điều kiện biểu thức có nghĩa. Kết quả rút gọn của phép tính \(\frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} + 2x}} \cdot \frac{x}{{x + 1}}:\frac{{x - 1}}{{x + 2}}\) là:

a) Sai. Năng suất (số sản phẩm 1 ngày) bằng tổng sản phẩm chia cho tổng số ngày.

Phân thức biểu diễn số sản phẩm dự định làm trong 1 ngày là \(\frac{{3000}}{x}\) (sản phẩm).

b) Đúng. Thời gian thực tế là \(x - 2\) (ngày).

Số sản phẩm không đổi là 3000 sản phẩm. Vậy năng suất thực tế là \(\frac{{3000}}{{x - 2}}\) (sản phẩm).

c) Đúng. Số sản phẩm làm thêm được trong 1 ngày bằng năng suất thực tế trừ năng suất dự định:

\(\frac{{3000}}{{x - 2}} - \frac{{3000}}{x} = \frac{{3000x - 3000\left( {x - 2} \right)}}{{x\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{6000}}{{{x^2} - 2x}}\) (sản phẩm).

d) Sai. Thực tế mỗi ngày làm thêm được 50 sản phẩm nên ta có: \(\frac{{6000}}{{{x^2} - 2x}} = 50\).

Suy ra \({x^2} - 2x = \frac{{6000}}{{50}}\), tức là \({x^2} - 2x = 120\), hay \({x^2} - 2x - 120 = 0\).

a) Sai. Điều kiện xác định của biểu thức M là \(x - 2 \ne 0,\,\,x + 2 \ne 0,\,\,{x^2} - 4 \ne 0,\,\,\frac{{x - 4}}{{x - 2}} \ne 0,\) tức là \(x \ne 2\), \(x \ne  - 2\) và \(x \ne 4\).

b) Đúng. Ta có: \(\frac{x}{{x - 2}} - \frac{x}{{x + 2}} + \frac{8}{{{x^2} - 4}}\)

                       \( = \frac{{x\left( {x + 2} \right) - x\left( {x - 2} \right) + 8}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)

                       \( = \frac{{{x^2} + 2x - {x^2} + 2x + 8}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)

                       \( = \frac{{4x + 8}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)

                       \( = \frac{{4\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)

                       \( = \frac{4}{{x - 2}}.\)

c) Đúng. Ta có \(M = \left( {\frac{x}{{x - 2}} - \frac{x}{{x + 2}} + \frac{8}{{{x^2} - 4}}} \right):\frac{{x - 4}}{{x - 2}}\)

                              \( = \frac{4}{{x - 2}} \cdot \frac{{x - 2}}{{x - 4}} = \frac{4}{{x - 4}}.\)

d) Sai. Với \(x\) nguyên, để \(M\) nguyên thì \(x - 4\) phải là ước của 4.

Mà Ư\(\left( 4 \right) = \left\{ {1;\,\, - 1;\,\,2;\,\, - 2;\,\,4;\,\, - 4} \right\}\) nên \(x - 4 \in \left\{ {1;\,\, - 1;\,\,2;\,\, - 2;\,\,4;\,\, - 4} \right\}\)

Từ đó ta tính được các giá trị \(x\) tương ứng là: \[x \in \left\{ {5;\,\,3;\,\,6;\,\,2;\,\,8;\,\,0} \right\}\].

Giá trị \[x = 2\] không thỏa mãn điều kiện xác định.

Vậy có 5 giá trị thỏa mãn là \[x \in \left\{ {5;\,\,3;\,\,6;\,\,8;\,\,0} \right\}\].