Xét giới hạn L = \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} - an} \right)\) với a là tham số. Xét tính đúng/sai của các mệnh đề sau:

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.           b) Sai.                   c) Đúng.               d) Đúng.

a) Đúng. Nếu a < 0 thì -an > 0,

L = \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} - an} \right)\) = \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {n\sqrt {1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} - an} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {n\sqrt {1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} - an} \right)\)

= \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ {n\left( {\sqrt {1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} - a} \right)} \right]\)

Ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } n = + \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} - a} \right) = \sqrt {1 - 0 + 0} - a = 1 - a\)

Theo giả thiết câu a), vì a < 0 ⇒ (1 – a) > 0. Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} - an} \right) = + \infty \).

b) Sai. Khi a = 1, nhân liên hợp ta có:

L = \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} - n} \right)\left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} + n} \right)}}{{\left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} + n} \right)}}\)

= \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\left( {{n^2} - n + 1} \right) - {n^2}}}{{\sqrt {{n^2}\left( {1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} \right) + n} }} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{ - n + 1}}{{n\sqrt {1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} + n}}\)

= \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{n\left( { - 1 + \frac{1}{n}} \right)}}{{n\left( {\sqrt {1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} + 1} \right)}}\) = \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\left( { - 1 + \frac{1}{n}} \right)}}{{\left( {\sqrt {1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} + 1} \right)}} = \frac{{ - 1 + 0}}{{\sqrt {1 - 0 + 0} + 1}} = - \frac{1}{2}\).

c) Đúng. Khi a = 1, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} - n} \right) = \infty - \infty \) ⇒ Phải nhân lượng liên hợp để khử.

d) Đúng.

L = \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {{n^2}\left( {1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)} - an} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {n\sqrt {1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} - an} \right)\)

= \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ {n\left( {\sqrt {1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} - a} \right)} \right]\)

n → +∞; \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} - a} \right) = 1 - a\).

Nếu 1 – a ≠ 0 ⇒ a ≠ 1, giới hạn L = ±∞ tùy thuộc vào dấu của (1 – a).

Để L thoát khỏi kết quả vô cực và thu được một số thực hữu hạn ⇒ 1 – a = 0 ⇒ a = 1.