(1,0 điểm) Một công ty nhận được đơn đặt hàng 4000 sản phẩm. Mỗi máy của công ty sản xuất được 50 sản phẩm trong một giờ. Khi thực hiện đơn hàng, mỗi giờ công ty cần trả 600 nghìn đồng chi phí cho nhân công. Ngoài ra, chi phí bảo trì cho một máy trong đơn hàng trên là 400 nghìn đồng. Giả sử hệ thống máy của công ty làm việc với công suất như nhau.

a) Gọi \(x\) là số lượng máy công ty sử dụng cho đơn hàng trên (điều kiện \(x \in {\mathbb{N}^*}\)). Biểu diễn theo \(x\) các đại lượng sau: số sản phẩm của công ty làm được trong một giờ và tổng số giờ công ty làm xong đơn hàng.

b) Công ty dự kiến tổng chi phí nhân công và bảo trì máy thực hiện đơn hàng là 11 920 nghìn đồng. Hỏi công ty phải sử dụng bao nhiêu máy để thực hiện xong đơn hàng trên?

a) Vì \(CA,\,CM\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) nên \(\widehat {CAO} = \widehat {CMO} = 90^\circ \).

Khi đó bốn điểm \(A,\,C,\,M,\,O\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(CO.\)

b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, \(OC\) là tia phân giác của \(\widehat {AOM}\).

Do \(N \in OM,\,H \in OC\) suy ra \(OH\) là phân giác của góc \(AON\) trong \(\Delta AON.\)

Áp dụng định lí đường phân giác trong \(\Delta AON\) ta có: \(\frac{{HN}}{{HA}} = \frac{{ON}}{{OA}}\).

Chứng minh tương tự có \(\frac{{KN}}{{KB}} = \frac{{ON}}{{OB}}\). Từ đó, suy ra \(\frac{{HN}}{{HA}} = \frac{{KN}}{{KB}}\).

Áp dụng định lý Thales đảo suy ra \(KH\parallel AB\), mà \(AB \bot AC\) nên \(KH \bot AC\) hay \(KH \bot EC\).

Mặt khác \(OC,\,OD\) lần lượt là tia phân giác của hai góc kề bù \(AOM\) và \(MOB\) nên \(OC \bot OD\) hay \(CO \bot KE\).

Trong tam giác \(CEK\) có hai đường cao \(KH,\,CO\) cắt nhau tại \(H\) nên \(H\) là trục tâm.

Suy ra \(EH \bot CK\) hay \(HE \bot CB\).

c) Chứng minh được  suy ra \(\frac{{BA}}{{EA}} = \frac{{CA}}{{TA}}\) suy ra \(AC \cdot EA = BA \cdot TA\).

Vì  nên \(CA \cdot EA = A{O^2}\).

Do đó, \(BA \cdot TA = A{O^2}\) nên \(T\) là trung điểm của \(OA.\)

Khi đó \(T\) là điểm cố định và \(TB = \frac{{3R}}{2}\).

Ta có: \({S_{BST}} = \frac{1}{2}BS \cdot ST \le \frac{1}{2}\frac{{B{S^2} + S{T^2}}}{2} = \frac{{B{T^2}}}{2} = \frac{{9{R^2}}}{{16}}\).

Dấu “=” xảy ra (diện tích lớn nhất) khi và chỉ khi \(BS = ST\) hay \(\Delta BST\) vuông cân tại \(S\).

Khi đó \(\widehat {CBA} = 45^\circ \).

Trong \(\Delta ABC\) có \(\widehat A = 90^\circ ,\widehat B = 45^\circ \) nên \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\).

Suy ra \(AC = AB = 2R\).

Tính được \(OC = \sqrt {O{A^2} + A{C^2}}  = R\sqrt 5 \).

Theo hệ thức lượng trong \(\Delta AOC\) tính được \(AP = \frac{{OA \cdot AC}}{{OC}} = \frac{{2R\sqrt 5 }}{5}\).

Suy ra \(AM = 2AP = \frac{{4R\sqrt 5 }}{5}.\)

a) Giải hệ phương trình được nghiệm là \(\left( {x;\,y} \right) = \left( {3;\,2} \right)\).

b) Với \(a \ge 0,\,\,a \ne 1\) ta có:

\(A = \left( {\frac{1}{{\sqrt a  - 1}} + \frac{1}{{\sqrt a  + 1}}} \right) \cdot \frac{{\sqrt a  - 1}}{2}\)\

\( = \frac{{\sqrt a  + 1 + \sqrt a  - 1}}{{\left( {\sqrt a  - 1} \right)\left( {\sqrt a  + 1} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt a  - 1}}{2}\)

\( = \frac{{2\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a  - 1} \right)\left( {\sqrt a  + 1} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt a  - 1}}{2} = \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a  + 1}}\).

Vậy với \(a \ge 0,\,\,a \ne 1\) thì \(A = \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a  + 1}}\).