(3,0 điểm) Cho đường tròn tâm \(O\) bán kính \(R\), đường kính \(AB\) cố định. Một điểm \(M\) thay đổi trên đường tròn \(\left( O \right)\) (\(M\) khác \(A\) và \(B\)). Tiếp tuyến tại \(M\) của đường tròn \(\left( O \right)\) cắt các tiếp tuyến tại \(A\), tại \(B\) của đường tròn \(\left( O \right)\) lần lượt tại \(C\) và \(D\).
a) Chứng minh rằng bốn điểm \(A,\,C,\,M,\,O\) cùng thuộc một đường tròn.
b) Đường thẳng \(BC\) cắt \(OD,\,OM\) lần lượt tại \(K,\,N\). Đường thẳng \(OC\) cắt \(AN\) tại \(H\). Hai đường thẳng \(AC\) và \(OD\) cắt nhau tại \(E\). Chứng minh rằng \(\frac{{HN}}{{HA}} = \frac{{ON}}{{OA}}\) và \(EH\) vuông góc với \(CK.\)
c) Đường thẳng \(EH\) cắt \(AB,\,BC\) lần lượt tại \(T,\,S.\) Tính độ dài \(AM\) theo \(R\) khi diện tích tam giác \(BST\) đạt giá trị lớn nhất.
Câu hỏi trong đề: Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Toán năm 2026 Phú Thọ !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Vì \(CA,\,CM\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) nên \(\widehat {CAO} = \widehat {CMO} = 90^\circ \).
Khi đó bốn điểm \(A,\,C,\,M,\,O\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(CO.\)
b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, \(OC\) là tia phân giác của \(\widehat {AOM}\).
Do \(N \in OM,\,H \in OC\) suy ra \(OH\) là phân giác của góc \(AON\) trong \(\Delta AON.\)
Áp dụng định lí đường phân giác trong \(\Delta AON\) ta có: \(\frac{{HN}}{{HA}} = \frac{{ON}}{{OA}}\).
Chứng minh tương tự có \(\frac{{KN}}{{KB}} = \frac{{ON}}{{OB}}\). Từ đó, suy ra \(\frac{{HN}}{{HA}} = \frac{{KN}}{{KB}}\).
Áp dụng định lý Thales đảo suy ra \(KH\parallel AB\), mà \(AB \bot AC\) nên \(KH \bot AC\) hay \(KH \bot EC\).
Mặt khác \(OC,\,OD\) lần lượt là tia phân giác của hai góc kề bù \(AOM\) và \(MOB\) nên \(OC \bot OD\) hay \(CO \bot KE\).
Trong tam giác \(CEK\) có hai đường cao \(KH,\,CO\) cắt nhau tại \(H\) nên \(H\) là trục tâm.
Suy ra \(EH \bot CK\) hay \(HE \bot CB\).
c) Chứng minh được suy ra \(\frac{{BA}}{{EA}} = \frac{{CA}}{{TA}}\) suy ra \(AC \cdot EA = BA \cdot TA\).
Vì nên \(CA \cdot EA = A{O^2}\).
Do đó, \(BA \cdot TA = A{O^2}\) nên \(T\) là trung điểm của \(OA.\)
Khi đó \(T\) là điểm cố định và \(TB = \frac{{3R}}{2}\).
Ta có: \({S_{BST}} = \frac{1}{2}BS \cdot ST \le \frac{1}{2}\frac{{B{S^2} + S{T^2}}}{2} = \frac{{B{T^2}}}{2} = \frac{{9{R^2}}}{{16}}\).
Dấu “=” xảy ra (diện tích lớn nhất) khi và chỉ khi \(BS = ST\) hay \(\Delta BST\) vuông cân tại \(S\).
Khi đó \(\widehat {CBA} = 45^\circ \).
Trong \(\Delta ABC\) có \(\widehat A = 90^\circ ,\widehat B = 45^\circ \) nên \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\).
Suy ra \(AC = AB = 2R\).
Tính được \(OC = \sqrt {O{A^2} + A{C^2}} = R\sqrt 5 \).
Theo hệ thức lượng trong \(\Delta AOC\) tính được \(AP = \frac{{OA \cdot AC}}{{OC}} = \frac{{2R\sqrt 5 }}{5}\).
Suy ra \(AM = 2AP = \frac{{4R\sqrt 5 }}{5}.\)
Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
a) Gọi \(x\) là số lượng máy công ty sử dụng cho đơn hàng trên (điều kiện \(x \in {\mathbb{N}^*}\)).
Số sản phẩm công ty làm được trong một giờ là: \(50x\) (sản phẩm).
Tổng số giờ công ty làm xong đơn hàng 4000 sản phẩm là: \(\frac{{4\,\,000}}{{50x}} = \frac{{80}}{x}\) (giờ)
Theo đề bài, tổng chi phí bằng chi phí nhân công cộng chi phí bảo trì.
Tổng chi phí nhân công:\(600 \cdot \frac{{80}}{x} = \frac{{48\,\,000}}{x}\) (nghìn đồng).
Tổng chi phí bảo trì cho \(x\) máy là: \(400x\) (nghìn đồng).
b) Ta có phương trình tổng chi phí \(\frac{{48\,\,000}}{x} + 400x = 11\,\,920\).
Chia cả hai vế cho 40 và nhân với \(x\) (do \(x > 0\)) ta được:
\(10{x^2} - 298x + 1\,200 = 0\) suy ra \(5{x^2} - 149x + 600 = 0\).
Do \(\Delta = {149^2} - 4 \cdot 5 \cdot 600 = 10\,\,201 = {101^2}\) nên ta được: \({x_1} = 25\,\,\left( {TM} \right);\,\,\,{x_2} = 4,8\) (loại)
Vậy công ty phải sử dụng 25 máy.
Lời giải
a) Giải hệ phương trình được nghiệm là \(\left( {x;\,y} \right) = \left( {3;\,2} \right)\).
b) Với \(a \ge 0,\,\,a \ne 1\) ta có:
\(A = \left( {\frac{1}{{\sqrt a - 1}} + \frac{1}{{\sqrt a + 1}}} \right) \cdot \frac{{\sqrt a - 1}}{2}\)\
\( = \frac{{\sqrt a + 1 + \sqrt a - 1}}{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\left( {\sqrt a + 1} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt a - 1}}{2}\)
\( = \frac{{2\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\left( {\sqrt a + 1} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt a - 1}}{2} = \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a + 1}}\).
Vậy với \(a \ge 0,\,\,a \ne 1\) thì \(A = \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a + 1}}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập