Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.

Có một cốc thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là 6cm , chiều cao trong lòng cốc là 10cm đang đựng một lượng nước. Khi nghiêng cốc nước vừa lúc khi nước chạm miệng cốc thì ở đáy mực nước trùng với đường kính đáy. Thể tích lượng nước trong cốc là ____ cm³.

Đáp án: \(\phi (1) = 1\); \(\phi (9) = 6\).

Số các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau với 1 là 1.

Khi đó \(\phi (1) = 1\)

Với \(N = 4\) thì các số nguyên tố cùng nhau với 4 là \(1;3\).

Khi đó \(\phi (4) = 2\)

Với \(N = 9\) thì các số nguyên tố cùng nhau với 9 là: \(1;2;4;5;7;8 \Rightarrow \phi (9) = 6\).

Với \(N = 10\) thì các số nguyên tố cùng nhau với 10 là \(1;3;7;9 \Rightarrow \phi (10) = 4\).

Đáp án: Sai – Đúng – Sai - Đúng.

Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( {1;1;1} \right)\), mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left( {1;2; - 2} \right)\).

Ta thấy \(\vec u = \left( {1;1;1} \right)\) và \(\vec n = \left( {1;2; - 2} \right)\) không cùng phương nên đường thẳng \(d\) không vuông góc mặt phẳng \(\left( P \right)\) nên phát biểu thứ nhất sai.

Đường thẳng \({\rm{\Delta }}\) đi qua \(A\left( {1;2; - 5} \right)\) và vuông góc với \(\left( P \right)\) có vectơ chỉ phương là \(\vec u = \left( {1;2; - 2} \right)\) có phương trình là \({\rm{\Delta }}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 2 + 2t}\\{z = - 5 - 2t}\end{array}} \right.\)nên phát biểu thứ hai sai.

Phương trình tham số của đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t}\\{y = 1 + t}\\{z = t}\end{array}} \right.\)

Thay tọa độ của đường thẳng d vào phương trình mặt phẳng \(\left( {\rm{P}} \right)\) ta được:

\(t + 2 + 2t - 2t = 0 \Leftrightarrow t = - 2\). Suy ra \(C\left( { - 2; - 1; - 2} \right)\)nên phát biểu thứ ba sai.

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 2;7} \right)\).

Phương trình đường thằng \({\rm{AB:}}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 - 2t'}\\{y = - 2t'}\\{z = 2 + 7t'}\end{array}} \right.\).

Xét vị trí tương đối của \(d\) và \(AB\) ta thấy d cắt AB tại \(N\left( {\frac{{ - 1}}{3};\frac{2}{3};\frac{{ - 1}}{3}} \right)\).

\(\overrightarrow {AN} \left( {\frac{{ - 4}}{3};\frac{{ - 4}}{3};\frac{{14}}{3}} \right);\frac{3}{2}\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AB} \) nên N nằm giữa A và B.

\(T = \left| {MA - MB} \right| \le AB\).

Dấu "=" xảy ra khi M trùng N .

Vậy, \({T_{{\rm{max}}}} = AB = \sqrt {57} \).