Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.
Giả sử số lượng tế bào của một quần thể nấm men tại môi trường nuôi cấy trong phòng thí nghiệm được mô hình hoá bằng hàm số \(P\left( t \right) = \frac{a}{{b + {e^{ - 0,75t}}}}\) (\[a,b \in \mathbb{R}\]), trong đó thời gian \(t\) được tính bằng giờ. Đạo hàm của hàm số \(y = P\left( t \right)\) biểu thị tốc độ sinh trưởng của nấm men (tính bằng tế bào /giờ) tại thời điểm t (giờ). Tại thời điểm ban đầu \(t = 0\), quần thể có 20 tế bào và tốc độ sinh trưởng là 10 tế bào/giờ. Số lượng tế bào của quần thể nấm men tại thời điểm tốc độ sinh trưởng của quần thể đạt mức tối đa là ________ tế bào.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án:
Đáp án: 30.
Ta có: \(P'\left( t \right) = \frac{{ - a{{\left( {b + {{\rm{e}}^{ - 0,75t}}} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {b + {{\rm{e}}^{ - 0,75t}}} \right)}^2}}} = \frac{{{\rm{0,75}} \cdot {\rm{a}} \cdot {{\rm{e}}^{ - 0,75t}}}}{{{{\left( {b + {{\rm{e}}^{ - 0,75t}}} \right)}^2}}} > 0\).
Theo bài ra ta có hệ pt : \[\left\{ \begin{array}{l}P\left( 0 \right) = 20\\P'\left( 0 \right) = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{a}{{b + {e^0}}} = 20\\\frac{{0,75a{e^0}}}{{{{\left( {b + {e^0}} \right)}^2}}} = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{a}{{b + 1}} = 20\;(1)\\\frac{{0,75a}}{{{{\left( {b + 1} \right)}^2}}} = 10\;(2)\end{array} \right.\]
Từ (1), \[b + 1 = \frac{a}{{20}}\] thay vào (2) \[\frac{{0,75a}}{{{{\left( {\frac{a}{{20}}} \right)}^2}}} = 10 \Leftrightarrow \frac{{400 \cdot 0,75}}{a} = 10 \Leftrightarrow a = 40 \cdot 0,75 = 30\].
\[ \Rightarrow b = \frac{{30}}{{20}} - 1 = 0,5 \Rightarrow P(t) = \frac{{30}}{{0,5 + {e^{ - 0,75t}}}}\].
Tốc độ sinh trưởng của nấm men là lớn nhất khi \(v\left( t \right) = P'\left( t \right) = \frac{{{\rm{22,5}}{{\rm{e}}^{ - 0,75t}}}}{{{{\left( {0,5 + {{\rm{e}}^{ - 0,75t}}} \right)}^2}}}\) lớn nhất.
\(v'\left( t \right) = \frac{{ - 16,875{{\rm{e}}^{ - 0,75t}}{{\left( {0,5 + {{\rm{e}}^{ - 0,75t}}} \right)}^2} - 2 \cdot \left( {{\rm{22,5}}{{\rm{e}}^{ - 0,75t}}} \right) \cdot \left( {0,5 + {{\rm{e}}^{ - 0,75t}}} \right) \cdot - 0,75{{\rm{e}}^{ - 0,75t}}}}{{{{\left( {0,5 + {{\rm{e}}^{ - 0,75t}}} \right)}^4}}}\)
\(v'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {33,75 - 16,875} \right){{\rm{e}}^{ - 0,75t}} - 16,875 \cdot 0,5 = 0\)\( \Leftrightarrow t = \frac{{\ln 0,5}}{{ - 0,75}}\).
Bảng biến thiên
\(v\left( t \right)\) lớn nhất khi \(t = \frac{{\ln 0,5}}{{ - 0,75}}\).
Khi đó số lượng tế bào của quân thể nấm men là \(P\left( t \right) = \frac{{30}}{{0,5 + {e^{ - 0,75\frac{{\ln 0,5}}{{ - 0,75}}}}}} = 30\).
Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập