Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.
Một mặt bàn bằng kính có hình dạng như hình a. Để tạo ra mặt bàn đó người ta dùng một tấm kính hình tam giác đều \(ABC\) có cạnh bằng \(14\left( {{\rm{dm}}} \right)\) và tại mỗi góc trong tam giác cắt tấm kính theo các đường parabol như nhau. Xét tại đỉnh \(A\), parabol có đỉnh \(M\) thuộc đường trung tuyến \(AH\), tiếp xúc với hai cạnh \(AB,AC\) lần lượt tại \(N,P\) sao cho \(AM = \sqrt 3 \,{\rm{dm}},AN = AP = 4\,{\rm{dm}}\)(Hình b).
Diện tích mặt bàn thu được là một số có dạng \(a\sqrt b \) (với \(a,b \in \mathbb{N}\) và \(b\) không có ước chính phương khác \(1\)). Giá trị \(a + b\) bằng ________.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án:
Đáp án: 48.
Chọn hệ trục \(Oxy\)như hình vẽ.
Do tam giác \(ABC\) đều và \(AN = AP = 4\,{\rm{dm}}\) nên tam giác \(ANP\) đều\( \Rightarrow NP = 4\,{\rm{dm}}\) và \(OA = 4 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = 2\sqrt 3 \,{\rm{dm}}\).
\(OM = OA - AM = \sqrt 3 \,{\rm{dm}}\).
Diện tích tam giác \(ABC\) là \({S_{ABC}} = \frac{{{{14}^2} \cdot \sqrt 3 }}{4} = 49\sqrt 3 \,\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).
Ta có: \(A\left( {0;2\sqrt 3 } \right),M\left( {0;\sqrt 3 } \right),N\left( { - 2;0} \right),P\left( {2;0} \right)\).
Phương trình đường thẳng \(AP\) là: \(\frac{{x - 2}}{{0 - 2}} = \frac{{y - 0}}{{2\sqrt 3 - 0}} \Leftrightarrow y = - \sqrt 3 x + 2\sqrt 3 \).
Giả sử parabol có đỉnh \(M\) có dạng \(y = a{x^2} + \sqrt 3 ,\left( {a \ne 0} \right)\). Parabol đi qua \(P\) \( \Rightarrow a = - \frac{{\sqrt 3 }}{4}\).
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = - \sqrt 3 x + 2\sqrt 3 ;y = - \frac{{\sqrt 3 }}{4}{x^2} + \sqrt 3 \) và hai đường thẳng \(x = 0;x = 2\) là: \(S' = \int\limits_0^2 {\left| {\left( { - \sqrt 3 x + 2\sqrt 3 } \right) - \left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{4}{x^2} + \sqrt 3 } \right)} \right|{\rm{d}}x} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\).
Diện tích mặt bàn là: \(S = {S_{ABC}} - 6 \cdot S' = 49\sqrt 3 - 6 \cdot \frac{{2\sqrt 3 }}{3} = 45\sqrt 3 \).
Vậy \(a = 45,b = 3\) và \(a + b = 48\).
Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập