Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.
Một mặt bàn bằng kính có hình dạng như hình a. Để tạo ra mặt bàn đó người ta dùng một tấm kính hình tam giác đều \(ABC\) có cạnh bằng \(14\left( {{\rm{dm}}} \right)\) và tại mỗi góc trong tam giác cắt tấm kính theo các đường parabol như nhau. Xét tại đỉnh \(A\), parabol có đỉnh \(M\) thuộc đường trung tuyến \(AH\), tiếp xúc với hai cạnh \(AB,AC\) lần lượt tại \(N,P\) sao cho \(AM = \sqrt 3 \,{\rm{dm}},AN = AP = 4\,{\rm{dm}}\)(Hình b).
Diện tích mặt bàn thu được là một số có dạng \(a\sqrt b \) (với \(a,b \in \mathbb{N}\) và \(b\) không có ước chính phương khác \(1\)). Giá trị \(a + b\) bằng ___.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án: 48.
Chọn hệ trục \(Oxy\)như hình vẽ.
Do tam giác \(ABC\) đều và \(AN = AP = 4\,{\rm{dm}}\) nên tam giác \(ANP\) đều\( \Rightarrow NP = 4\,{\rm{dm}}\) và \(OA = 4 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = 2\sqrt 3 \,{\rm{dm}}\).
\(OM = OA - AM = \sqrt 3 \,{\rm{dm}}\).
Diện tích tam giác \(ABC\) là \({S_{ABC}} = \frac{{{{14}^2} \cdot \sqrt 3 }}{4} = 49\sqrt 3 \,\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).
Ta có: \(A\left( {0;2\sqrt 3 } \right),M\left( {0;\sqrt 3 } \right),N\left( { - 2;0} \right),P\left( {2;0} \right)\).
Phương trình đường thẳng \(AP\) là: \(\frac{{x - 2}}{{0 - 2}} = \frac{{y - 0}}{{2\sqrt 3 - 0}} \Leftrightarrow y = - \sqrt 3 x + 2\sqrt 3 \).
Giả sử parabol có đỉnh \(M\) có dạng \(y = a{x^2} + \sqrt 3 ,\left( {a \ne 0} \right)\). Parabol đi qua \(P\) \( \Rightarrow a = - \frac{{\sqrt 3 }}{4}\).
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = - \sqrt 3 x + 2\sqrt 3 ;y = - \frac{{\sqrt 3 }}{4}{x^2} + \sqrt 3 \) và hai đường thẳng \(x = 0;x = 2\) là: \(S' = \int\limits_0^2 {\left| {\left( { - \sqrt 3 x + 2\sqrt 3 } \right) - \left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{4}{x^2} + \sqrt 3 } \right)} \right|{\rm{d}}x} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\).
Diện tích mặt bàn là: \(S = {S_{ABC}} - 6 \cdot S' = 49\sqrt 3 - 6 \cdot \frac{{2\sqrt 3 }}{3} = 45\sqrt 3 \).
Vậy \(a = 45,b = 3\) và \(a + b = 48\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi cuối kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án: 13.
Đặt các điểm như hình vẽ.
Đặt \(DF = x\), \(x > 0\), ta có \(\Delta ADF\) đồng dạng với \(\Delta BDE\) nên \(\frac{{EB}}{{ED}} = \frac{{AF}}{{DF}}\)\( \Rightarrow EB = \frac{{ab}}{x}\).
Gọi \[l\] là chiều dài của que sào, ta có \({l^2} = A{B^2} = {\left( {x + b} \right)^2} + {\left( {a + \frac{{ab}}{x}} \right)^2} = f\left( x \right)\).
Đạo hàm: \(f'\left( x \right) = 2\left( {x + b} \right) - 2\frac{{ab}}{{{x^2}}}\left( {a + \frac{{ab}}{x}} \right) = 2\left( {x + b} \right)\left( {1 - \frac{{{a^2}b}}{{{x^3}}}} \right)\); \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{{a^2}b}} = 18\).
Dễ dàng suy ra được \(\min \,f\left( x \right) = f\left( {18} \right) = 2197\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của que sào là \(l = \sqrt {2197} = 13\sqrt {13} \).
Câu 2
Đường thẳng BC vuông góc với đường thẳng \(A'B\).
Thể tích khối lăng trụ \(ABC.\,A'B'C'\) bằng \(24\).
Côsin của góc giữa đường thẳng \(A'B\) và mặt phẳng đáy \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(\frac{1}{{\sqrt 5 }}.\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án: Sai – Sai – Đúng – Sai.
Đường thẳng \(BC\) không vuông góc với đường thẳng \(A'B\) nên phát biểu thứ nhất sai.
Tam giác ABC vuông tại A \( \Rightarrow AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = \sqrt {13 - 4} = 3\).
\( \Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 12\) nên phát biểu thứ hai sai.
Góc giữa đường thẳng \(A'B\) và mặt phẳng đáy \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(\widehat {A'BA}\).
\( \Rightarrow \cos \widehat {A'BA} = \frac{{AB}}{{A'B}} = \frac{2}{{\sqrt {4 + 16} }} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\) nên phát biểu thứ ba đúng.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(A'B\) và \(CE\) bằng khoảng cách giữa \(A'B\) và \(\left( {EFC} \right)\).
\( \Rightarrow d\left( {A'B,CE} \right) = d\left( {A'B,\left( {{\rm{EF}}C} \right)} \right) = d\left( {B,\left( {{\rm{EF}}C} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {{\rm{EF}}C} \right)} \right) = AK\)
Với H là hình chiếu của A lên EC, K là hình chiếu của A lên FH.
\( \Rightarrow \frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{A{C^2}}} + \frac{1}{{A{E^2}}} + \frac{1}{{{\rm{A}}{{\rm{F}}^2}}} = \frac{1}{9} + \frac{1}{1} + \frac{1}{4} = \frac{{49}}{{36}} \Rightarrow AK = \frac{6}{7}\) nên phát biểu thứ tư sai.
Câu 3
Khảo sát thời gian tập thể dục của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:
|
Thời gian (phút) |
\(\left[ {0;20} \right)\) |
\(\left[ {20;40} \right)\) |
\(\left[ {40;60} \right)\) |
\(\left[ {60;80} \right)\) |
\(\left[ {80;100} \right)\) |
|
Số học sinh |
5 |
9 |
12 |
10 |
6 |
Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu trên là
\(\left[ {40;60} \right)\).
\(\left[ {20;40} \right)\).
\(\left[ {60;80} \right)\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Số tam giác có trong tập \(X\) là 84.
Số tam giác đều có trong tập \(X\) là 3.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
\[y = \frac{{2x + 3}}{{x + 1}}\].
\[y = \frac{{2x - 1}}{{x - 1}}\].
\(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập