Trên trục số, điểm \(M,N\) lần lượt biểu diễn các số hữu tỉ:

Ta có: \(\frac{{{4^x}}}{{{2^{x + y}}}} = 8\)

\(\frac{{{{\left( {{2^2}} \right)}^x}}}{{{2^{x + y}}}} = {2^3}\)

\(\frac{{{2^{2x}}}}{{{2^{x + y}}}} = {2^3}\)

\({2^{2x - \left( {x + y} \right)}} = {2^3}\)

\({2^{x - y}} = {2^3}\)

Suy ra: \(x - y = 3\) (1).

Lại có: \(\frac{{{9^{x + y}}}}{{{3^{5y}}}} = 243\)

\(\frac{{{{\left( {{3^2}} \right)}^{x + y}}}}{{{3^{5y}}}} = {3^5}\)

\(\frac{{{3^{2\left( {x + y} \right)}}}}{{{3^{5y}}}} = {3^5}\)

\({3^{2x + 2y - 5y}} = {3^5}\)

\({3^{2x - 3y}} = {3^5}\)

Suy ra: \(2x - 3y = 5\) (2)

Từ (1) suy ra \(x = y + 3\), thay \(x = y + 3\) vào (2) ta được:

\(2\left( {y + 3} \right) - 3y = 5\) suy ra \(2y + 6 - 3y = 5\) suy ra \( - y + 6 = 5\) suy ra \(y = 6 - 5 = 1\) (thỏa mãn).

Thay \(y = 1\) vào \(x = y + 3\) ta được: \(x = 1 + 3 = 4\) (thỏa mãn).

Vậy \(x \cdot y = 4 \cdot 1 = 4\).

a) Vì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \bot d}\\{b \bot d}\end{array}} \right.\) nên \(a\,{\rm{//}}\,b\).

b) Vì \(a\,{\rm{//}}\,b\) nên \(\widehat {{D_2}} = \widehat {ACD} = 70^\circ \) (hai góc so le trong).

Ta có: \(\widehat {{D_1}} + \widehat {{D_2}} = 180^\circ \) (hai góc kề bù).

Lại có \(\widehat {{D_2}} = 70^\circ \) suy ra \(\widehat {{D_1}} + 70^\circ  = 180^\circ \) suy ra \(\widehat {{D_1}} = 180^\circ  - 70^\circ  = 110^\circ \).

c) Vì \(\widehat {{D_1}} = \widehat {DEF} = 110^\circ \) mà hai góc này ở vị trí so le trong nên \(b\,{\rm{//}}\,c\) (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song).

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}b \bot d\\b\,{\rm{//}}\,c\end{array} \right.\) nên \(c \bot d\).

d)

d) Ta có \(\widehat {{D_2}} = \widehat {BDE} = 70^\circ \) (2 góc đối đỉnh) .

Vì \(DI\) là tia phân giác \(\widehat {BDE}\) nên \(\widehat {BDI} = \widehat {EDI} = 35^\circ \).

Vì \(EI\) là tia phân giác \(\widehat {FED}\) nên \(\widehat {FEI} = \widehat {DEI} = 55^\circ \).

Do tổng 3 góc trong \(\Delta DIE\) bằng \(180^\circ \) nên ta có:

\(\widehat {DIE} + \widehat {EDI} + \widehat {DEI} = 180^\circ \) hay \(\widehat {DIE} + 35^\circ  + 55^\circ  = 180^\circ \) suy ra \(\widehat {DIE} = 180^\circ  - 35^\circ  - 55^\circ  = 90^\circ \).

Vậy \(\widehat {DIE} = 90^\circ \).