Giải các bất phương trình sau:

a) \(3x - 5 \ge 4\left( {2x + 1} \right) - 6\).

b) \(\frac{{5x + 1}}{3} - 2 \le \frac{{x + 4}}{2} + \frac{{3 - 2x}}{4}\).

a) Vì \(MA,\,\,MB\) là hai tiếp tuyến của đường tròn \((O)\) nên \(\widehat {MAO} = 90^\circ \) và \(\widehat {MBO} = 90^\circ \).

Gọi \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(MO\).

Xét \(\Delta MAO\) vuông tại \(A\) (do \(\widehat {MAO} = 90^\circ \)), có \(AI\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(MO\).

Suy ra: \(IA = IO = IM = \frac{1}{2}MO\) (1).

Trong \(\Delta MBO\) vuông tại \(B\) (do \(\widehat {MBO} = 90^\circ \)), có\(BI\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(MO\).

Suy ra: \(IB = IO = IM = \frac{1}{2}MO\) (2).

Từ (1) và (2), ta suy ra: \(IA = IB = IO = IM = \frac{1}{2}MO\).\(\)

Do đó bốn điểm \(M,\,\,A,\,\,O,\,\,B\) cùng thuộc một đường tròn đường kính \(MO\).

b) ⦁ Chứng minh \(MO \bot AB\)

Ta có \(MA = MB\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) suy ra \(M\) thuộc đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\) (3).

Lại có \(OA = OB = R\) suy ra \(O\) thuộc đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\) (4).

Từ (3) và (4) suy ra \(MO\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\).

Do đó \(MO \bot AB\) tại \(H\).

⦁ Chứng minh \(OH \cdot OM = {R^2}\)

Xét \(\Delta OHA\) và \(\Delta OAM\) lần lượt vuông tại \(H\) và \(A\):

\(\widehat {AOM}\) là góc chung

\(\widehat {OHA} = \widehat {OAM} = 90^\circ \).

Do đó (g.g).

Suy ra \(\frac{{OH}}{{OA}} = \frac{{OA}}{{OM}}\) suy ra \(OH \cdot OM = O{A^2}\)

Mặt khác, \(OA\) chính là bán kính của đường tròn \(\left( O \right)\), nên \(OA = R\).

Do đó \(OH \cdot OM = {R^2}\) (*).

c)

Xét \(\Delta ONP\) cân tại \(O\) (do \(ON = OP = R\)), có \(K\) là trung điểm của \(NP\) nên \(OK\) là đường trung tuyến của \(\Delta ONP\).

Do đó, \(OK\) đồng thời là đường cao hay \(OK \bot NP\) tại \(K\).

Mặt khác, \(FN,\,\,FP\) là hai tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) nên \(FP = FN\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) và \(ON = OP = R\).

Chứng minh tương tự ý b) ta được \(OF\) là đường trung trực của \(NP\) hay \(OF \bot NP\) tại \(K\).

Do đó ba điểm \(O,K,F\) thẳng hàng.

Do \(FN\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) tại \(N\) nên \(\widehat {FNO} = 90^\circ \).

Xét \(\Delta ONF\) vuông tại \(N\) chứng minh tương tự ý b) ta được: \(OK \cdot OF = O{N^2} = {R^2}\) (**).

Từ (*) và (**) suy ra \(OK \cdot OF = OH \cdot OM\) suy ra \(\frac{{OK}}{{OH}} = \frac{{OM}}{{OF}}\).

Xét \(\Delta KOM\) và \(\Delta HOF\) có:

\(\widehat {MOF}\) là góc chung;

\(\frac{{OK}}{{OH}} = \frac{{OM}}{{OF}}\).

Do đó (c.g.c).

Gọi thời gian đội I và đội II làm một mình xong công việc lần lượt là \(x\) ngày và \(y\) ngày \(\left( {x > 12,\,\,y > 12} \right)\).

Trong 1 ngày, đội I làm được \(\frac{1}{x}\) công việc, đội II làm được \(\frac{1}{y}\) công việc.

Vì hai đội cùng làm trong 12 ngày thì xong nên:

\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{12}}\).

Trong 4 ngày đầu, hai đội cùng làm được: \(4 \cdot \frac{1}{{12}} = \frac{1}{3}\) (công việc).

Đội II làm tiếp trong 10 ngày nữa thì hoàn thành \(\frac{5}{6}\) công việc nên:

\(\frac{1}{3} + 10 \cdot \frac{1}{y} = \frac{5}{6}\) suy ra \(\frac{{10}}{y} = \frac{1}{2}\) suy ra \(y = 20\) (thỏa mãn).

Thay \(y = 20\) vào phương trình ban đầu:

\(\frac{1}{x} + \frac{1}{{20}} = \frac{1}{{12}}\) suy ra \(\frac{1}{x} = \frac{1}{{30}}\) suy ra \(x = 30\) (thỏa mãn).

Vậy nếu làm riêng, đội I hoàn thành sau 30 ngày, đội II hoàn thành sau 20 ngày.