Cho hàm số \(y = \frac{{ - {x^2} + x - 2}}{{x + 2}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Đường thẳng \(\Delta :x + 2y = - 2\) cắt \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A,\,\,B\).

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai. Thực hiện phép chia đa thức: \(y = - x + 3 - \frac{8}{{x + 2}}\).

Đồ thị \(\left( C \right)\) có đường tiệm cận đứng là \(x = - 2\) và đường tiệm cận xiên là \(y = - x + 3\).

Giao điểm của hai đường tiệm cận, đồng thời là tâm đối xứng của \(\left( C \right)\), là điểm \(I\left( { - 2;\,\,5} \right)\).

b) Đúng. Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \({\rm{\Delta }}\) và \(\left( C \right)\) là:

\(\frac{{ - {x^2} + x - 2}}{{x + 2}} = \frac{{ - x - 2}}{2} \Leftrightarrow {x^2} - 6x = 0\), có hai nghiệm là \(x = 0\) và \(x = 6\).

Tọa độ hai giao điểm là \(A\left( {0;\,\, - 1} \right)\) và \(B\left( {6;\,\, - 4} \right)\).

Đoạn thẳng \(OA\) nằm trên trục tung \(Oy\) và \(OA = 1\).

Khoảng cách từ điểm \(B\) đến trục tung bằng \(6\).

Do đó diện tích tam giác \(OAB\) là \({S_{{\rm{\Delta }}OAB}} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 6 = 3\).

c) Đúng. Đường tiệm cận xiên của đồ thị \(\left( C \right)\) là đường thẳng \(y = - x + 3\).

d) Sai. Đường thẳng \(AB\) đi qua hai điểm \(A\left( {0;\,\, - 1} \right)\) và \(B\left( {6;\,\, - 4} \right)\) có phương trình là \(x + 2y + 2 = 0\).

Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên đường thẳng \(CD\) song song với \(AB\), có dạng \(x + 2y + m = 0\) với điều kiện \(m \ne 2\), hay \(y = \frac{{ - x - m}}{2}\).

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \(CD\) và đồ thị \(\left( C \right)\) là:

\(\frac{{ - {x^2} + x - 2}}{{x + 2}} = \frac{{ - x - m}}{2} \Leftrightarrow {x^2} - \left( {m + 4} \right)x + \left( {4 - 2m} \right) = 0\)

Theo định lý Viète: \({x_C} + {x_D} = m + 4\) và \({x_C} \cdot {x_D} = 4 - 2m\).

Vì \(\overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AB} = \left( {6;\,\, - 3} \right)\) nên \({x_C} - {x_D} = 6\).

Ta có hệ thức:

\({\left( {{x_C} - {x_D}} \right)^2} = {\left( {{x_C} + {x_D}} \right)^2} - 4{x_C}{x_D} \Leftrightarrow 36 = {\left( {m + 4} \right)^2} - 4\left( {4 - 2m} \right) \Leftrightarrow {m^2} + 16m - 36 = 0\).

Phương trình có hai nghiệm là \(m = 2\) (loại do trùng với đường thẳng \(AB\)) và \(m = - 18\) (thỏa mãn).

Do đó đường thẳng \(CD\) có phương trình là \(x + 2y - 18 = 0\).

Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song \(AB\) và \(CD\) là:

\(d\left( {AB,\,\,CD} \right) = \frac{{\left| {2 - \left( { - 18} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = \frac{{20}}{{\sqrt 5 }} = 4\sqrt 5 \ne 5\).

Do đó mệnh đề d là sai.