Một cột đèn cao \(7\) m có bóng trên mặt đất dài \(4\) m. Cùng thời điểm đó một tòa nhà cao tầng có bóng trên mặt đất là \(80\) m (như hình vẽ). Em hãy cho biết tòa nhà có bao nhiêu tầng biết rằng mỗi tầng cao \(3,5\) m.

Gọi giá niêm yết của chiếc ấm đun nước là \(x\) (nghìn đồng), giá niêm yết của bộ cốc chén là \(y\) (nghìn đồng) với \(0 < x,\,\,y < 580\).

Theo giả thiết ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 580}\\{10\% x + 15\% y = 72}\end{array}} \right.\) hay \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 580}\\{2x + 3y = 1440}\end{array}} \right.\).

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với \(2\):

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + 2y = 1160}\\{2x + 3y = 1440}\end{array}} \right.\)

Trừ từng vế của phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất ta được:

\(\left( {2x + 3y} \right) - \left( {2x + 2y} \right) = 1440 - 1160\) suy ra \(y = 280\) (thỏa mãn).

Thay \(y = 280\) vào phương trình \(x + y = 580\) ta được:

\(x + 280 = 580\) suy ra \(x = 580 - 280\) suy ra \(x = 300\) (thỏa mãn).

Vậy giá niêm yết của chiếc ấm đun nước là \(300\) nghìn đồng, bộ cốc chén là \(280\) nghìn đồng.

1. Điều kiện xác định: \(x \ne 1\).

\(A = 3\)

\(\frac{{2x + 4}}{{x - 1}} = 3\)

\(2x + 4 = 3\left( {x - 1} \right)\)

\(x = 7\) (thỏa mãn).

Vậy \(x = 7\).

2. Ta có \(A = \frac{{x + 4}}{{x - 3}} = \frac{{x - 3 + 7}}{{x - 3}} = 1 + \frac{7}{{x - 3}}\,\,\left( {x \ne 3} \right)\).

Để \(A\) nhận giá trị nguyên với \(x \in \mathbb{Z}\) thì \(\left( {x - 3} \right)\) phải là ước của \(7\).

Do đó \(x - 3 \in \left\{ { \pm 1;\,\, \pm 7} \right\}\).

Suy ra \(x \in \left\{ { - 4;\,\,2;\,\,4;\,\,10} \right\}\) (thỏa mãn điều kiện).

Vậy \(x \in \left\{ { - 4;\,\,2;\,\,4;\,\,10} \right\}\).

3. Điều kiện xác định: \(x \ne 2\).

Ta có:

\(2P = \frac{{2\left( {3x - 1} \right)}}{{2\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{3x - 1}}{{x - 2}} = \frac{{3\left( {x - 2} \right) + 5}}{{x - 2}} = 3 + \frac{5}{{x - 2}}\)

Vì \(P\) là số nguyên dương nên \(2P\) là số nguyên. Với \(x\) nguyên, suy ra \(\left( {x - 2} \right)\) là ước của \(5\):

\(x - 2 \in \left\{ { - 5;\,\, - 1;\,\,1;\,\,5} \right\}\) suy ra \(x \in \left\{ { - 3;\,\,1;\,\,3;\,\,7} \right\}\).

Thay lại vào biểu thức \(P\):

Với \(x =  - 3\) thì \(P = \frac{{3 \cdot \left( { - 3} \right) - 1}}{{2 \cdot \left( { - 3} \right) - 4}} = 1\) (thỏa mãn là số nguyên dương).

Với \(x = 1\) thì \(P = \frac{{3 \cdot 1 - 1}}{{2 \cdot 1 - 4}} =  - 1\) (loại vì không dương).

Với \(x = 3\) thì \(P = \frac{{3 \cdot 3 - 1}}{{2 \cdot 3 - 4}} = 4\) (thỏa mãn là số nguyên dương).

Với \(x = 7\) thì \(P = \frac{{3 \cdot 7 - 1}}{{2 \cdot 7 - 4}} = 2\) (thỏa mãn là số nguyên dương).

Vậy \(x \in \left\{ { - 3;\,\,3;\,\,7} \right\}\).