Nhân Ngày Phụ nữ Việt Nam, mẹ Mai vào một cửa hàng thời trang mua một chiếc váy và một chiếc túi với tổng giá niêm yết là \(1\,\,500\,\,000\) đồng. Trong dịp này, cửa hàng có chương trình khuyến mãi, chiếc váy được giảm \(20\% \), còn chiếc túi giảm \(10\% \). Và mẹ Mai đã trả \(1\,\,270\,\,000\) đồng. Hỏi giá niêm yết của từng sản phẩm trên là bao nhiêu?

a)

Ta có \(\Delta ABC\) vuông tại \(C\) minh họa bài toán. Trong đó, quãng đường bay theo đường xiên là \(AB = 2{\rm{\;km}} = 2000{\rm{\;m}}\); \(\widehat {A\,\,} = 7^\circ \) và độ cao hạ được chính là cạnh góc vuông \(BC\) đối diện với góc \(7^\circ \).

Áp dụng số lượng giác trong \(\Delta ABC\) vuông tại \(C\) có:

\(BC = AB \cdot \sin 7^\circ  = 2000 \cdot \sin 7^\circ  \approx 243,738 \approx 244\) (m).

Vậy khi máy bay bay theo hướng đó được \(2\) km thì máy bay đã hạ độ cao được \(244\,\,{\rm{m\'e t}}{\rm{.}}\)

b) Độ cao cần hạ là \(h = 300\) m. Quãng đường bay \(s\) (m) để hạ độ cao \(300{\rm{\;m}}\) là:

\(s = \frac{h}{{\sin 7^\circ }} = \frac{{300}}{{\sin 7^\circ }} \approx 2461,65\) (m).

Tốc độ máy bay \(v = 198{\rm{\;km/h}} = \frac{{198}}{{3,6}} = 55{\rm{\;m/s}}\).

Thời gian máy bay bay để hạ độ cao \(300\) m là:

\(t = \frac{s}{v} \approx \frac{{2461,65}}{{55}} \approx 44,757 \approx 45\) giây.

Vậy sau \(45\) giây máy bay hạ độ cao được \(300\) mét.

a)

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(\widehat {B\,} = 52^\circ \) suy ra \(\widehat {C\,} = 90^\circ  - \widehat {B\,} = 90^\circ  - 52^\circ  = 38^\circ \).

Áp dụng tỉ số lượng giác góc nhọn vào \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) ta có:

\(AC = AB \cdot \tan B = 6 \cdot \tan 52^\circ  \approx 7,679 \approx 7,7\) (cm).

\(BC = \frac{{AB}}{{\cos B}} = \frac{6}{{\cos 52^\circ }} \approx 9,745 \approx 9,7\) (cm).

b) ⦁ Chứng minh \(AQ \cdot AC = A{H^2}\)

Xét \({\rm{\Delta }}AQH\) và \({\rm{\Delta }}AHC\):

\(\widehat {AQH} = \widehat {AHC} = 90^\circ \) (do \(HQ \bot AC\) và \(AH \bot BC\));

\(\widehat {HAC}\) là góc chung (tức \(\widehat {HAQ} = \widehat {CAH}\)).

Do đó, $\text{Δ}AQH\backsim \text{Δ}AHC$.

Suy ra \(\frac{{AQ}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AC}}\) suy ra \(A{H^2} = AQ \cdot AC\) (1).

⦁ Chứng minh $\text{Δ}ABC\backsim \text{Δ}AQN$:

Xét \({\rm{\Delta }}ANH\) và \({\rm{\Delta }}AHB\) có:

\(\widehat {ANH} = \widehat {AHB} = 90^\circ \) (do \(HN \bot AB\) và \(AH \bot BC\));

\(\widehat {HAB}\) là góc chung (tức \(\widehat {HAN} = \widehat {BAH}\)).

Do đó, $\text{Δ}ANH\backsim \text{Δ}AHB$.

Suy ra \(\frac{{AN}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AB}}\) suy ra \(AN \cdot AB = A{H^2}\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(AQ \cdot AC = AN \cdot AB\) suy ra \(\frac{{AQ}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}}\).

Xét \({\rm{\Delta }}ABC\) và \({\rm{\Delta }}AQN\) có:

\(\widehat {A\,\,}\) là góc  chung (tức \(\widehat {QAN} = \widehat {BAC} = 90^\circ \));

\(\frac{{AQ}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}}\).

Do đó, $\text{Δ}ABC\backsim \text{Δ}AQN$ (c.g.c).

c)

Trong \({\rm{\Delta }}ABF\) vuông tại \(F\) có: \(\cos \widehat {ABK} = \frac{{BF}}{{AB}}\).

Trong \({\rm{\Delta }}ABC\) vuông tại \(A\) có: \(\cos \widehat {ABC} = \frac{{AB}}{{BC}}\).

Do đó:

\(VP = CK \cdot \cos \widehat {ABK} \cdot \cos \widehat {ABC} = CK \cdot \frac{{BF}}{{AB}} \cdot \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{CK \cdot BF}}{{BC}}\) (1).

Trong \({\rm{\Delta }}ABH\) vuông tại \(H\) có: \(BH = AB \cdot \cos \widehat {ABC}\).

Trong \({\rm{\Delta }}ABK\) vuông tại \(A\) có: \(BK = \frac{{AB}}{{\cos \widehat {ABK}}}\).

Do đó, \(\frac{{BH}}{{BK}} = \frac{{AB \cdot \cos \widehat {ABC}}}{{\frac{{AB}}{{\cos \widehat {ABK}}}}} = \cos \widehat {ABC} \cdot \cos \widehat {ABK}\) (3).

\(\frac{{BF}}{{BC}} = \frac{{AB \cdot \cos \widehat {ABK}}}{{\frac{{AB}}{{\cos \widehat {ABC}}}}} = \cos \widehat {ABK} \cdot \cos \widehat {ABC}\) (4).

Từ (3) và (4) suy ra \(\frac{{BH}}{{BK}} = \frac{{BF}}{{BC}}\).

Xét \({\rm{\Delta }}BHF\) và \({\rm{\Delta }}BKC{\rm{\;}}\) có \(\frac{{BH}}{{BK}} = \frac{{BF}}{{BC}}\) và \(\widehat {KBC}\) là góc chung.

Suy ra $\text{Δ}BHF\backsim \text{Δ}BKC$ (c.g.c).

Do đó, \(\frac{{HF}}{{CK}} = \frac{{BF}}{{BC}}\) suy ra \(HF = \frac{{CK \cdot BF}}{{BC}}\) (5).

Từ (1) và (5) suy ra: \(HF = CK \cdot \cos \widehat {ABK} \cdot \cos \widehat {ABC}\) (đpcm).