Một hộ gia đình nuôi cá trong một hồ nước. Theo kinh nghiệm chăn nuôi, nếu trong hồ thả \(1000\) con cá thì trung bình mỗi con cá khi thu hoạch đạt cân nặng là \(2,4\) kg. Nếu thả thêm cá vào hồ, do mật độ dày hơn làm giảm lượng thức ăn tự nhiên và ôxy, nên cứ mỗi lần thả thêm \(100\) con cá thì khối lượng trung bình của mỗi con cá khi thu hoạch lại giảm đi \(0,09\) kg. Hỏi hộ gia đình đó nên thả thêm bao nhiêu lần (mỗi lần \(100\) con cá) vào hồ để tổng khối lượng cá thu hoạch được là lớn nhất?

a)

Ta có \(\Delta ABC\) vuông tại \(C\) minh họa bài toán. Trong đó, quãng đường bay theo đường xiên là \(AB = 2{\rm{\;km}} = 2000{\rm{\;m}}\); \(\widehat {A\,\,} = 7^\circ \) và độ cao hạ được chính là cạnh góc vuông \(BC\) đối diện với góc \(7^\circ \).

Áp dụng số lượng giác trong \(\Delta ABC\) vuông tại \(C\) có:

\(BC = AB \cdot \sin 7^\circ  = 2000 \cdot \sin 7^\circ  \approx 243,738 \approx 244\) (m).

Vậy khi máy bay bay theo hướng đó được \(2\) km thì máy bay đã hạ độ cao được \(244\,\,{\rm{m\'e t}}{\rm{.}}\)

b) Độ cao cần hạ là \(h = 300\) m. Quãng đường bay \(s\) (m) để hạ độ cao \(300{\rm{\;m}}\) là:

\(s = \frac{h}{{\sin 7^\circ }} = \frac{{300}}{{\sin 7^\circ }} \approx 2461,65\) (m).

Tốc độ máy bay \(v = 198{\rm{\;km/h}} = \frac{{198}}{{3,6}} = 55{\rm{\;m/s}}\).

Thời gian máy bay bay để hạ độ cao \(300\) m là:

\(t = \frac{s}{v} \approx \frac{{2461,65}}{{55}} \approx 44,757 \approx 45\) giây.

Vậy sau \(45\) giây máy bay hạ độ cao được \(300\) mét.

a)

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(\widehat {B\,} = 52^\circ \) suy ra \(\widehat {C\,} = 90^\circ  - \widehat {B\,} = 90^\circ  - 52^\circ  = 38^\circ \).

Áp dụng tỉ số lượng giác góc nhọn vào \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) ta có:

\(AC = AB \cdot \tan B = 6 \cdot \tan 52^\circ  \approx 7,679 \approx 7,7\) (cm).

\(BC = \frac{{AB}}{{\cos B}} = \frac{6}{{\cos 52^\circ }} \approx 9,745 \approx 9,7\) (cm).

b) ⦁ Chứng minh \(AQ \cdot AC = A{H^2}\)

Xét \({\rm{\Delta }}AQH\) và \({\rm{\Delta }}AHC\):

\(\widehat {AQH} = \widehat {AHC} = 90^\circ \) (do \(HQ \bot AC\) và \(AH \bot BC\));

\(\widehat {HAC}\) là góc chung (tức \(\widehat {HAQ} = \widehat {CAH}\)).

Do đó, $\text{Δ}AQH\backsim \text{Δ}AHC$.

Suy ra \(\frac{{AQ}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AC}}\) suy ra \(A{H^2} = AQ \cdot AC\) (1).

⦁ Chứng minh $\text{Δ}ABC\backsim \text{Δ}AQN$:

Xét \({\rm{\Delta }}ANH\) và \({\rm{\Delta }}AHB\) có:

\(\widehat {ANH} = \widehat {AHB} = 90^\circ \) (do \(HN \bot AB\) và \(AH \bot BC\));

\(\widehat {HAB}\) là góc chung (tức \(\widehat {HAN} = \widehat {BAH}\)).

Do đó, $\text{Δ}ANH\backsim \text{Δ}AHB$.

Suy ra \(\frac{{AN}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AB}}\) suy ra \(AN \cdot AB = A{H^2}\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(AQ \cdot AC = AN \cdot AB\) suy ra \(\frac{{AQ}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}}\).

Xét \({\rm{\Delta }}ABC\) và \({\rm{\Delta }}AQN\) có:

\(\widehat {A\,\,}\) là góc  chung (tức \(\widehat {QAN} = \widehat {BAC} = 90^\circ \));

\(\frac{{AQ}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}}\).

Do đó, $\text{Δ}ABC\backsim \text{Δ}AQN$ (c.g.c).

c)

Trong \({\rm{\Delta }}ABF\) vuông tại \(F\) có: \(\cos \widehat {ABK} = \frac{{BF}}{{AB}}\).

Trong \({\rm{\Delta }}ABC\) vuông tại \(A\) có: \(\cos \widehat {ABC} = \frac{{AB}}{{BC}}\).

Do đó:

\(VP = CK \cdot \cos \widehat {ABK} \cdot \cos \widehat {ABC} = CK \cdot \frac{{BF}}{{AB}} \cdot \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{CK \cdot BF}}{{BC}}\) (1).

Trong \({\rm{\Delta }}ABH\) vuông tại \(H\) có: \(BH = AB \cdot \cos \widehat {ABC}\).

Trong \({\rm{\Delta }}ABK\) vuông tại \(A\) có: \(BK = \frac{{AB}}{{\cos \widehat {ABK}}}\).

Do đó, \(\frac{{BH}}{{BK}} = \frac{{AB \cdot \cos \widehat {ABC}}}{{\frac{{AB}}{{\cos \widehat {ABK}}}}} = \cos \widehat {ABC} \cdot \cos \widehat {ABK}\) (3).

\(\frac{{BF}}{{BC}} = \frac{{AB \cdot \cos \widehat {ABK}}}{{\frac{{AB}}{{\cos \widehat {ABC}}}}} = \cos \widehat {ABK} \cdot \cos \widehat {ABC}\) (4).

Từ (3) và (4) suy ra \(\frac{{BH}}{{BK}} = \frac{{BF}}{{BC}}\).

Xét \({\rm{\Delta }}BHF\) và \({\rm{\Delta }}BKC{\rm{\;}}\) có \(\frac{{BH}}{{BK}} = \frac{{BF}}{{BC}}\) và \(\widehat {KBC}\) là góc chung.

Suy ra $\text{Δ}BHF\backsim \text{Δ}BKC$ (c.g.c).

Do đó, \(\frac{{HF}}{{CK}} = \frac{{BF}}{{BC}}\) suy ra \(HF = \frac{{CK \cdot BF}}{{BC}}\) (5).

Từ (1) và (5) suy ra: \(HF = CK \cdot \cos \widehat {ABK} \cdot \cos \widehat {ABC}\) (đpcm).