Cho hàm số \(f\left( x \right) = a\sin \left( {\pi x + \frac{\pi }{6}} \right) + 2\) \(\left( {a \ne 0} \right)\). Biết đồ thị hàm số đi qua điểm \(A\left( {\frac{1}{3};\,\,5} \right).\)     

Xét tính đúng sai các mệnh đề sau: 

Mỗi kết quả của phép thử là một cách chọn \(7\) bóng trong \(21\) bóng đôi một khác nhau rồi gắn vào \(7\) vị trí phân biệt, nên:

\(n\left( {\rm{\Omega }} \right) = A_{21}^7 = 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 = 586\,051\,200\).

Vị trí \(O\) kề với cả sáu vị trí \(A,\,\,B,\,\,C,\,\,D,\,\,E,\,\,F\) nên màu ở \(O\) khác màu ở cả sáu đỉnh.

Vì chỉ có ba màu nên sáu đỉnh chỉ dùng hai màu còn lại; mặt khác \(A,\,\,B,\,\,C,\,\,D,\,\,E,\,\,F\) tạo thành một chu trình mà hai vị trí kề nhau khác màu, nên hai màu đó phải xen kẽ: \(A,\,\,C,\,\,E\) cùng một màu và \(B,\,\,D,\,\,F\) cùng màu kia.

Số cách chọn cách tô màu như vậy là \(3 \cdot 2 = 6\) (chọn màu cho \(O\), rồi chọn màu cho bộ \(A,C,E\)).

Ký hiệu \(a,\,\,c,\,\,e,\,\,b,\,\,d,\,\,f,\,\,o\) lần lượt là số ghi trên bóng đèn ở các vị trí \(A,\,\,C,\,\,E,\,\,B,\,\,D,\,\,F,\,\,O.\)

Ba bóng ở \(A,\,\,C,\,\,E\) cùng màu và đôi một khác nhau nên \(a,\,\,c,\,\,e\) đôi một khác nhau; tương tự với \(b,\,\,d,\,\,f\).

Điều kiện ba số trên mỗi đường chéo đôi một khác nhau tương đương với: \(o\) khác cả sáu số còn lại, đồng thời \(a \ne d,\,\,b \ne e,\,\,c \ne f\).

Số \(o\) có \(7\) cách chọn.

Đặt \(S = \left\{ {1;\,\,2; \ldots ;\,\,7} \right\}\backslash \left\{ o \right\}\).

Khi đó \(\left| S \right| = 6\) và bộ \(\left( {a;\,\,c;\,\,e} \right)\) là một chỉnh hợp chập \(3\) của \(S\): có \(6 \cdot 5 \cdot 4 = 120\) cách.

Với mỗi bộ \(\left( {a;\,\,c;\,\,e} \right)\) đã chọn, ta đếm số chỉnh hợp chập \(3\) của \(S\) dạng \(\left( {d;\,\,b;\,\,f} \right)\) thỏa mãn \(d \ne a,\,\,b \ne e,\,\,f \ne c\); gọi số đó là \(N\).

Áp dụng nguyên lý bù trừ như sau:

• Đếm số bộ \(\left( {d;\,\,b;\,\,f} \right)\): Gọi \({X_1},\,\,{X_2},\,\,{X_3}\) lần lượt là tập các chỉnh hợp có \(d = a\), có \(b = e\), có \(f = c\).

Ta có \(\left| {{X_i}} \right| = 5 \cdot 4 = 20\), \(\left| {{X_i} \cap {X_j}} \right| = 4\) và \(\left| {{X_1} \cap {X_2} \cap {X_3}} \right| = 1\), nên:

\(\left| {{X_1} \cup {X_2} \cup {X_3}} \right| = 3 \cdot 20 - 3 \cdot 4 + 1 = 49\).

Vậy \(N = 120 - 49 = 71\).

• Tính xác suất: Số kết quả thuận lợi là: \(6 \cdot 7 \cdot 120 \cdot 71 = 357\,840\).

Do đó \(P = \frac{{357\,840}}{{586\,051\,200}} = \frac{{71}}{{116\,280}}\).

Phân số này tối giản vì \(71\) là số nguyên tố và \(116\,280\) không chia hết cho \(71\).

Với \(m = 71\) và \(n = 116\,280\),

    \(n - 22{m^2} = 116\,280 - 22 \cdot {71^2} = 116\,280 - 110\,902 = 5378\).

Đáp án: 5378.

Xét mặt phẳng đi qua tâm \(I\) của một viên bi xanh và tâm \(J\) của viên bi vàng, vuông góc với mặt sàn.

Gọi \(A,\,\,H\) lần lượt là tiếp điểm của hai viên bi đó với mặt sàn, khi đó \(IA = 2,JH = 3\) và \(IA,\,\,JH\) cùng vuông góc với mặt sàn.

Hai viên bi tiếp xúc ngoài khi và chỉ khi \(IJ = 2 + 3 = 5\).

Hình chiếu của \(IJ\) xuống mặt sàn là \(AH\) và hiệu hai khoảng cách đến mặt sàn là \(3 - 2 = 1,\)do đó:

\(AH = \sqrt {I{J^2} - {{\left( {3 - 2} \right)}^2}}  = \sqrt {25 - 1}  = 2\sqrt 6 \) (cm).

Như vậy, viên bi vàng tiếp xúc với một viên bi xanh khi và chỉ khi khoảng cách giữa hai tiếp điểm của chúng với mặt sàn bằng \(2\sqrt 6 \) cm.

Hai viên bi xanh tiếp xúc nhau nên \(AB = 2 + 2 = 4\) cm.

Gọi \(P\) là tiếp điểm của viên bi vàng với mặt sàn tại thời điểm nó tiếp xúc cùng lúc với hai viên bi xanh, khi đó \(PA = PB = 2\sqrt 6 \), nên \(P\) thuộc đường trung trực của đoạn \(AB\).

Chọn hệ trục tọa độ \(Ixy\) trên mặt sàn với \(I\) là trung điểm của \(AB\), trục \(Iy\) chứa \(AB\): khi đó \(A\left( {0;\,\,2} \right)\), \(B\left( {0;\,\, - 2} \right)\).

Gọi \(C\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right)\), từ \(AC = 26\) và \(BC = 10\sqrt 5 \) ta có hệ:

Chọn \({x_0} = 10\) (viên bi vàng nằm về một phía của đường thẳng \(AB\)), tức \(C\left( {10;\,\, - 22} \right)\). Điểm \(P\) nằm trên trục \(Ix\) nên \(P\left( {p;\,\,0} \right)\) với \({p^2} + {2^2} = {\left( {2\sqrt 6 } \right)^2} = 24\), suy ra \(p =  \pm 2\sqrt 5 \).

Vì viên bi vàng đi từ phía \(x > 0\) nên \(P\left( {2\sqrt 5 ;\,\,0} \right)\).

Quãng đường viên bi vàng đi được là:

\(CP = \sqrt {{{\left( {10 - 2\sqrt 5 } \right)}^2} + {{22}^2}}  = \sqrt {604 - 40\sqrt 5 }  \approx 22,684\) cm.

Với tốc độ \(2\) cm/s, thời gian cần tìm là \(\frac{{CP}}{2} \approx 11,3\) (giây).

Đáp án: 11,3.