Một bể nước bằng nhựa với phần chứa nước có dạng hình hộp chữ nhật được đặt trong một hệ trục tọa độ \(Oxyz\) sao cho các tia \(Ox,\,\,Oy,\,\,Oz\) dọc theo ba cạnh của hình hộp như hình vẽ, miệng bể là hình chữ nhật \(ABCD\). Biết đơn vị trên mỗi trục là dm và \({x_B} = 8\); \({y_D} = 10;\) \({z_A} = 4\).

Xét tính đúng sai các mệnh đề sau:

Mỗi kết quả của phép thử là một cách chọn \(7\) bóng trong \(21\) bóng đôi một khác nhau rồi gắn vào \(7\) vị trí phân biệt, nên:

\(n\left( {\rm{\Omega }} \right) = A_{21}^7 = 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 = 586\,051\,200\).

Vị trí \(O\) kề với cả sáu vị trí \(A,\,\,B,\,\,C,\,\,D,\,\,E,\,\,F\) nên màu ở \(O\) khác màu ở cả sáu đỉnh.

Vì chỉ có ba màu nên sáu đỉnh chỉ dùng hai màu còn lại; mặt khác \(A,\,\,B,\,\,C,\,\,D,\,\,E,\,\,F\) tạo thành một chu trình mà hai vị trí kề nhau khác màu, nên hai màu đó phải xen kẽ: \(A,\,\,C,\,\,E\) cùng một màu và \(B,\,\,D,\,\,F\) cùng màu kia.

Số cách chọn cách tô màu như vậy là \(3 \cdot 2 = 6\) (chọn màu cho \(O\), rồi chọn màu cho bộ \(A,C,E\)).

Ký hiệu \(a,\,\,c,\,\,e,\,\,b,\,\,d,\,\,f,\,\,o\) lần lượt là số ghi trên bóng đèn ở các vị trí \(A,\,\,C,\,\,E,\,\,B,\,\,D,\,\,F,\,\,O.\)

Ba bóng ở \(A,\,\,C,\,\,E\) cùng màu và đôi một khác nhau nên \(a,\,\,c,\,\,e\) đôi một khác nhau; tương tự với \(b,\,\,d,\,\,f\).

Điều kiện ba số trên mỗi đường chéo đôi một khác nhau tương đương với: \(o\) khác cả sáu số còn lại, đồng thời \(a \ne d,\,\,b \ne e,\,\,c \ne f\).

Số \(o\) có \(7\) cách chọn.

Đặt \(S = \left\{ {1;\,\,2; \ldots ;\,\,7} \right\}\backslash \left\{ o \right\}\).

Khi đó \(\left| S \right| = 6\) và bộ \(\left( {a;\,\,c;\,\,e} \right)\) là một chỉnh hợp chập \(3\) của \(S\): có \(6 \cdot 5 \cdot 4 = 120\) cách.

Với mỗi bộ \(\left( {a;\,\,c;\,\,e} \right)\) đã chọn, ta đếm số chỉnh hợp chập \(3\) của \(S\) dạng \(\left( {d;\,\,b;\,\,f} \right)\) thỏa mãn \(d \ne a,\,\,b \ne e,\,\,f \ne c\); gọi số đó là \(N\).

Áp dụng nguyên lý bù trừ như sau:

• Đếm số bộ \(\left( {d;\,\,b;\,\,f} \right)\): Gọi \({X_1},\,\,{X_2},\,\,{X_3}\) lần lượt là tập các chỉnh hợp có \(d = a\), có \(b = e\), có \(f = c\).

Ta có \(\left| {{X_i}} \right| = 5 \cdot 4 = 20\), \(\left| {{X_i} \cap {X_j}} \right| = 4\) và \(\left| {{X_1} \cap {X_2} \cap {X_3}} \right| = 1\), nên:

\(\left| {{X_1} \cup {X_2} \cup {X_3}} \right| = 3 \cdot 20 - 3 \cdot 4 + 1 = 49\).

Vậy \(N = 120 - 49 = 71\).

• Tính xác suất: Số kết quả thuận lợi là: \(6 \cdot 7 \cdot 120 \cdot 71 = 357\,840\).

Do đó \(P = \frac{{357\,840}}{{586\,051\,200}} = \frac{{71}}{{116\,280}}\).

Phân số này tối giản vì \(71\) là số nguyên tố và \(116\,280\) không chia hết cho \(71\).

Với \(m = 71\) và \(n = 116\,280\),

    \(n - 22{m^2} = 116\,280 - 22 \cdot {71^2} = 116\,280 - 110\,902 = 5378\).

Đáp án: 5378.

Vận tốc tức thời của hạt tại thời điểm \(t\) là đạo hàm của tọa độ theo thời gian:

          \(v\left( t \right) = y'\left( t \right) = 3{t^2} - 12\).

Do đó \(v\left( 8 \right) = 3 \cdot {8^2} - 12 = 192 - 12 = 180\) (m/s).

Đáp án: 180.