PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN

Một hợp tác xã cần vận chuyển \(3600\) kg sầu riêng trong một mùa vụ. Hợp tác xã chia thành nhiều chuyến, mỗi chuyến chở \(x{\rm{\;kg}}\) \(\left( {1 \le x \le 3600,\,\,x \in {\mathbb{N}^ * }} \right)\), giả sử \(x\) là ước của \(3600\) để khối lượng hàng được chia đều cho các chuyến. Chi phí cho mỗi chuyến gồm:

⦁ Phí xe cố định là \(50\) nghìn đồng/chuyến.

⦁ Phí bảo quản lạnh được tính \(0,005{x^2}\) (nghìn đồng/chuyến).

Hỏi mỗi chuyến nên chở bao nhiêu kg để tổng chi phí vận chuyển là nhỏ nhất?

Mỗi kết quả của phép thử là một cách chọn \(7\) bóng trong \(21\) bóng đôi một khác nhau rồi gắn vào \(7\) vị trí phân biệt, nên:

\(n\left( {\rm{\Omega }} \right) = A_{21}^7 = 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 = 586\,051\,200\).

Vị trí \(O\) kề với cả sáu vị trí \(A,\,\,B,\,\,C,\,\,D,\,\,E,\,\,F\) nên màu ở \(O\) khác màu ở cả sáu đỉnh.

Vì chỉ có ba màu nên sáu đỉnh chỉ dùng hai màu còn lại; mặt khác \(A,\,\,B,\,\,C,\,\,D,\,\,E,\,\,F\) tạo thành một chu trình mà hai vị trí kề nhau khác màu, nên hai màu đó phải xen kẽ: \(A,\,\,C,\,\,E\) cùng một màu và \(B,\,\,D,\,\,F\) cùng màu kia.

Số cách chọn cách tô màu như vậy là \(3 \cdot 2 = 6\) (chọn màu cho \(O\), rồi chọn màu cho bộ \(A,C,E\)).

Ký hiệu \(a,\,\,c,\,\,e,\,\,b,\,\,d,\,\,f,\,\,o\) lần lượt là số ghi trên bóng đèn ở các vị trí \(A,\,\,C,\,\,E,\,\,B,\,\,D,\,\,F,\,\,O.\)

Ba bóng ở \(A,\,\,C,\,\,E\) cùng màu và đôi một khác nhau nên \(a,\,\,c,\,\,e\) đôi một khác nhau; tương tự với \(b,\,\,d,\,\,f\).

Điều kiện ba số trên mỗi đường chéo đôi một khác nhau tương đương với: \(o\) khác cả sáu số còn lại, đồng thời \(a \ne d,\,\,b \ne e,\,\,c \ne f\).

Số \(o\) có \(7\) cách chọn.

Đặt \(S = \left\{ {1;\,\,2; \ldots ;\,\,7} \right\}\backslash \left\{ o \right\}\).

Khi đó \(\left| S \right| = 6\) và bộ \(\left( {a;\,\,c;\,\,e} \right)\) là một chỉnh hợp chập \(3\) của \(S\): có \(6 \cdot 5 \cdot 4 = 120\) cách.

Với mỗi bộ \(\left( {a;\,\,c;\,\,e} \right)\) đã chọn, ta đếm số chỉnh hợp chập \(3\) của \(S\) dạng \(\left( {d;\,\,b;\,\,f} \right)\) thỏa mãn \(d \ne a,\,\,b \ne e,\,\,f \ne c\); gọi số đó là \(N\).

Áp dụng nguyên lý bù trừ như sau:

• Đếm số bộ \(\left( {d;\,\,b;\,\,f} \right)\): Gọi \({X_1},\,\,{X_2},\,\,{X_3}\) lần lượt là tập các chỉnh hợp có \(d = a\), có \(b = e\), có \(f = c\).

Ta có \(\left| {{X_i}} \right| = 5 \cdot 4 = 20\), \(\left| {{X_i} \cap {X_j}} \right| = 4\) và \(\left| {{X_1} \cap {X_2} \cap {X_3}} \right| = 1\), nên:

\(\left| {{X_1} \cup {X_2} \cup {X_3}} \right| = 3 \cdot 20 - 3 \cdot 4 + 1 = 49\).

Vậy \(N = 120 - 49 = 71\).

• Tính xác suất: Số kết quả thuận lợi là: \(6 \cdot 7 \cdot 120 \cdot 71 = 357\,840\).

Do đó \(P = \frac{{357\,840}}{{586\,051\,200}} = \frac{{71}}{{116\,280}}\).

Phân số này tối giản vì \(71\) là số nguyên tố và \(116\,280\) không chia hết cho \(71\).

Với \(m = 71\) và \(n = 116\,280\),

    \(n - 22{m^2} = 116\,280 - 22 \cdot {71^2} = 116\,280 - 110\,902 = 5378\).

Đáp án: 5378.

Vận tốc tức thời của hạt tại thời điểm \(t\) là đạo hàm của tọa độ theo thời gian:

          \(v\left( t \right) = y'\left( t \right) = 3{t^2} - 12\).

Do đó \(v\left( 8 \right) = 3 \cdot {8^2} - 12 = 192 - 12 = 180\) (m/s).

Đáp án: 180.