(1 điểm) Một công ty sản xuất hai loại thực phẩm X và Y. Nguyên liệu để sản xuất gồm hai loại là bột và đường, với lượng dự trữ tương ứng là \(18\) tấn bột, \(15\) tấn đường. Để sản xuất mỗi tấn thực phẩm loại X cần \(0,3\) tấn bột và \(0,3\) tấn đường. Để sản xuất mỗi tấn thực phẩm loại Y cần \(0,4\) tấn bột và \(0,2\) tấn đường. Biết rằng mỗi tấn thực phẩm loại X có giá bán \(100\) triệu đồng, mỗi tấn thực phẩm loại Y có giá bán \(80\) triệu đồng. Gọi \(x,\,\,y\) lần lượt là số tấn thực phẩm loại X và Y mà công ty đó sản xuất.

a) Lập hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn biểu thị các ràng buộc của bài toán.

b) Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình ở câu a trên mặt phẳng tọa độ. Từ đó tìm doanh thu tối đa của công ty.

Gọi \(B\) là vị trí tàu du lịch hỏng động cơ, \(C\) là vị trí tàu cứu hộ tiếp cận tàu du lịch, \(t\) (giờ) là thời gian tàu cứu hộ di chuyển (\(t > 0\)).

Ta có \(AB = 50 \cdot 2 = 100\) (hải lí), \(BC = 10\left( {t + \frac{1}{2}} \right) = 10t + 5\), \(AC = 74t\).

Tại \(B\), hướng \(BA\) là \(N75^\circ W\), hướng \(BC\) là \(S45^\circ W\) nên \(\widehat {ABC} = 180^\circ  - 75^\circ  - 45^\circ  = 60^\circ \).

Theo định lí côsin: \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2AB \cdot BC \cdot \cos 60^\circ \).

\( \Leftrightarrow {\left( {74t} \right)^2} = 10000 + {\left( {10t + 5} \right)^2} - 100\left( {10t + 5} \right)\)\( \Leftrightarrow 5376{t^2} + 900t - 9525 = 0 \Leftrightarrow 1792{t^2} + 300t - 3175 = 0\)

\(t = \frac{5}{4}\) (thỏa mãn) hoặc \(t > 0\) (loại).

Suy ra \(AC = 92,5\), \(BC = 17,5\). Khi đó:

\(\cos \widehat {BAC} = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2AB \cdot AC}} = \frac{{10000 + 8556,25 - 306,25}}{{2 \cdot 100 \cdot 92,5}} = \frac{{73}}{{74}} \Rightarrow \widehat {BAC} \approx 9,43^\circ \).

Tàu du lịch trôi theo hướng Tây Nam nên điểm \(C\) và hướng Nam từ \(A\) nằm cùng phía đối với đường thẳng \(AB\).

Do đó tia \(AC\) nằm giữa hướng Nam và tia \(AB\), hợp với hướng Nam một góc \(75^\circ  - 9,43^\circ  = 65,57^\circ \) về phía Đông.

Vậy tàu cứu hộ cần đi theo hướng khoảng \(S65,57^\circ E\) (sau \(1,25\) giờ sẽ tiếp cận được tàu du lịch)

a) \(A \cup B = \left( { - \infty ;\,\,7} \right]\)

\(A \cap B = \left[ {1;\,\,3} \right)\)

\(A\backslash B = \left( { - \infty ;\,\,1} \right)\)

\({C_\mathbb{R}}A = \left[ {3;\,\, + \infty } \right)\)

b) \(T = \left( {2m;\,\,m + 3} \right)\). Hai tập \(B = \left[ {1;7} \right]\) và \(T\) có phần tử chung khi và chỉ khi \(T \ne \emptyset \), mút phải của \(T\) không nhỏ hơn 1 và mút trái của \(T\) nhỏ hơn 7, tức là:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2m < m + 3}\\{m + 3 \ge 1}\\{2m < 7}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 3}\\{m \ge  - 2}\\{m < \frac{7}{2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow  - 2 \le m < 3\).

Vậy \( - 2 \le m < 3\).