Trong không gian xét hệ tọa độ \(Oxyz\) có một đơn vị dài trên các trục tương ứng với 10 mét trên thực tế. Một mục tiêu cần được bảo vệ có vị trí ở gốc tọa độ \(O\). Người ta thiết lập một vành đai bảo vệ quanh mục tiêu theo một đường tròn tâm \(O\) có bán kính bằng 7 đơn vị (tương ứng với 70 mét trên thực tế) nằm trong mặt phẳng \(Oxy\). Một máy bay không người lái (được coi như một hạt) bay theo một đường thẳng từ vị trí \(M\left( {5;10;4} \right)\) đến vị trí \(N\left( {14; - 2;4} \right)\). Tại mỗi vị trí của máy bay, khoảng cách từ máy bay đến vành đai bảo vệ là độ dài ngắn nhất của các đoạn thẳng nối từ vị trí đó đến một điểm bất kỳ trên vành đai.

a) Đúng. Ta có \(\overrightarrow {MN} = \left( {14 - 5; - 2 - 10;4 - 4} \right) = \left( {9; - 12;0} \right)\).

b) Sai. Đường thẳng \(MN\) có vectơ chỉ phương là \(\frac{1}{3}\overrightarrow {MN} = \left( {3; - 4;0} \right)\).

Phương trình tham số của đường thẳng \(MN\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + 3t\\y = 10 - 4t\\z = 4\end{array} \right.\).

c) Đúng. Vành đai là đường tròn trong mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) có phương trình là \({x^2} + {y^2} = {7^2}\).

Hình chiếu của điểm \(M\left( {5;10;4} \right)\) trên \(\left( {Oxy} \right)\) là \(M'\left( {5;10;0} \right)\) và hình chiếu của \(N\left( {14; - 2;4} \right)\) trên \(\left( {Oxy} \right)\) là \(N'\left( {14; - 2;0} \right)\).

Trong quá trình bay từ \(M\) đến \(N\), gọi vị trí của máy bay là \(A\) nên điểm \(A\) có tọa độ là \(\left( {5 + 3t;10 - 4t;4} \right)\).

Gọi \(A\) là hình chiếu của \(A\) trên \(\left( {Oxy} \right)\). Suy ra \(A'\left( {5 + 3t;10 - 4t;0} \right)\).

Trong mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) đường thẳng \(M'N'\) có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + 3t\\y = 10 - 4t\end{array} \right.\).

Suy ra \(M'N'\) có phương trình tổng quát là \(4x + 3y - 50 = 0\).

Suy ra \(d\left( {O,M'N'} \right) = \frac{{\left| {4 \cdot 0 + 3 \cdot 0 - 50} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = 10 > 7\).

Suy ra đường thẳng \(M'N'\) không cắt \(\left( {O,7} \right)\) nên điểm \(A'\) nằm bên ngoài vành đai.

Gọi \(B\) là điểm bất kì trên vành đai

Ta có khoảng cách từ \(A\) đến vành đai là \(A{B_{\min }} = A{B_1} = \sqrt {A{{A'}^2} + {{\left( {A'{B_1}} \right)}^2}} = \sqrt {A{{A'}^2} + {{\left( {A'O - 7} \right)}^2}} \)\( = \sqrt {{4^2} + {{\left( {\sqrt {{{\left( {5 + 3t} \right)}^2} + {{\left( {10 - 4t} \right)}^2}} - 7} \right)}^2}} \)\( = \sqrt {16 + {{\left( {\sqrt {25{t^2} - 50t + 125} - 7} \right)}^2}} \).

Do hàm số \(y = 25{t^2} - 50t + 125\) đạt giá trị nhỏ nhất là 100 khi \(t = 1\) nên giá trị nhỏ nhất của \(A{B_{\min }}\) là 5 khi \(t = 1\).

Vậy khoảng cách ngắn nhất từ máy bay đến vành đai bảo vệ là 50 mét.

d) Đúng. Ta có khi \(t = 1\) tọa độ máy bay \(P\left( {8;6;4} \right)\).