Để chế tác một hạt cườm, người ta lấy một khối vật thể có dạng một khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi trục \(Ox\) và nửa trên của elip \(\frac{{{x^2}}}{{{{1,5}^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{1^2}}} = 1\) (một đơn vị dài trên mỗi trục tọa độ tương ứng với một xăng-ti-mét trong thực tế) quanh trục \(Ox\), sau đó khoan dọc theo trục xoay (xem hình dưới). Lỗ khoan có dạng hình trụ với bán kính \(0,2\;{\rm{cm}}\)và có trục nằm trên trục xoay. Phần còn lại sau khi khoan là hạt cườm, có dạng một khối tròn xoay. Thể tích của hạt cườm đó bằng bao nhiêu xăng ti mét khối (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm)?
Lưu ý: Các kích thước trong hình mình họa có thể không đúng với tỉ lệ thực tế.
Để chế tác một hạt cườm, người ta lấy một khối vật thể có dạng một khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi trục \(Ox\) và nửa trên của elip \(\frac{{{x^2}}}{{{{1,5}^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{1^2}}} = 1\) (một đơn vị dài trên mỗi trục tọa độ tương ứng với một xăng-ti-mét trong thực tế) quanh trục \(Ox\), sau đó khoan dọc theo trục xoay (xem hình dưới). Lỗ khoan có dạng hình trụ với bán kính \(0,2\;{\rm{cm}}\)và có trục nằm trên trục xoay. Phần còn lại sau khi khoan là hạt cườm, có dạng một khối tròn xoay. Thể tích của hạt cườm đó bằng bao nhiêu xăng ti mét khối (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm)?
Lưu ý: Các kích thước trong hình mình họa có thể không đúng với tỉ lệ thực tế.
Câu hỏi trong đề: Đề chính thức Tốt nghiệp THPT Toán năm 2026 - Lần 1 !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án:
Đáp án: 5,91.
Phương trình elip đã cho là \(\frac{{{x^2}}}{{{{1,5}^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{1^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{2,25}} + {y^2} = 1\).
Do lấy nửa trên của elip nên \(y \ge 0\), ta suy ra: \({y^2} = 1 - \frac{{{x^2}}}{{2,25}}\)
Lỗ khoan có dạng hình trụ bán kính \(r = 0,2{\rm{ cm}}\), nằm dọc theo trục \(Ox\), tức là phần không gian bị lấy đi giới hạn bởi đường thẳng \(y = 0,2\).
Để tìm các giới hạn hoành độ nơi mũi khoan đi vào và đi ra khỏi khối elip, ta tìm giao điểm của đường thẳng \(y = 0,2\) và elip là:
\(1 - \frac{{{x^2}}}{{2,25}} = {0,2^2} \Leftrightarrow {x^2} = 0,96 \cdot 2,25 = 2,16 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - \sqrt {2,16} }\\{x = \sqrt {2,16} }\end{array}} \right.\)
Thể tích hạt cườm chính là thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đường elip \(y_{{\rm{elip}}}^2 = 1 - \frac{{{x^2}}}{{2,25}}\) và đường thẳng \({y_{{\rm{truc}}}} = 0,2\), quay quanh trục \(Ox\) trên đoạn \(\left[ { - \sqrt {2,16} ;\sqrt {2,16} } \right]\).
Do tính chất đối xứng qua trục \(Oy\), ta có thể tính tích phân từ \(0\) đến \(\sqrt {2,16} \) rồi nhân đôi:
\(V = 2\pi \int_0^{\sqrt {2,16} } {(y_{{\rm{elip}}}^2 - y_{{\rm{truc}}}^2)} {\mkern 1mu} dx\)
\( \Rightarrow V = 2\pi \int_0^{\sqrt {2,16} } {\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{2,25}} - 0,04} \right)} dx = 2\pi \int_0^{\sqrt {2,16} } {\left( {0,96 - \frac{{{x^2}}}{{2,25}}} \right)} dx \approx 5,91{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^3}{\rm{)}}\).
Vậy thể tích của hạt cườm bằng \(5,91{\rm{ c}}{{\rm{m}}^3}\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Điều kiện: \(x > 1\).
Ta có \({\log _3}\left( {x - 1} \right) = 1\)\( \Leftrightarrow x - 1 = 3 \Leftrightarrow x = 4\) (thỏa mãn).
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 4\). Chọn D.
Câu 2
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Ta có \(y' = {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]^\prime } = f'\left( x \right) + g'\left( x \right) = x + {x^2}\). Chọn C.
Câu 3
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập