Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), một trạm thu phát sóng điện thoại di động được đặt ở vị trí \(I\left( {2;1;12} \right)\), trong đó một đơn vị độ dài trên mỗi trục tương ứng với \(10{\rm{ m\'e t}}\) trên thực tế. Trạm thu phát sóng đó có bán kính phủ sóng là \(130\) mét. Vùng phủ sóng của trạm thu phát được quy ước là tập hợp tất cả các điểm \(P\) trên mặt đất và trong không gian sao cho khoảng cách \(IP\) không vượt quá \(130\) mét. Mặt đất được coi là một phần của mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) và mỗi người trên mặt đất được coi như một chất điểm. 

Trong không gian \(Oxyz\), trạm phát sóng tại \(I\left( {2;1;12} \right)\), 1 đơn vị = 10 m. Bán kính phát sóng \(R = 130{\rm{ m}} = 13\) đơn vị. Mặt đất là mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right):z = 0\).

a) Đúng. Mặt cầu giới hạn vùng phủ sóng có tâm \(I\left( {2;1;12} \right)\) và bán kính \(R = 13\):

\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 12} \right)^2} = {13^2} = 169\).

b) Sai. Giao của mặt cầu với mặt đất \(\left( {Oxy} \right):z = 0\) là hình tròn có tâm \(H\left( {2;1;0} \right)\), bán kính

\(r = \sqrt {{{13}^2} - {{12}^2}} = 5\) đơn vị = 50 m.

Vị trí ban đầu \(M\left( {3;1;0} \right) \Rightarrow HM = \sqrt {{{\left( {3 - 2} \right)}^2} + {{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {0^2}} = 1{\rm{ }}\)đơn vị = 10 m.

Tốc độ di chuyển \(v = 3,6{\rm{ km/h}} = 1{\rm{ m/s}}\). Sau \(40{\rm{ s}}\), quãng đường đi được là \(s = 40{\rm{ m}}\).

Khoảng cách tối đa từ \(H\) tới người sau \(40{\rm{ s}}\) là \({d_{\max }} = HM + s = 10 + 40 = 50{\rm{ m}} = r\). Do đó người này vẫn luôn ở trong vùng phủ sóng (chưa đi ra ngoài).

c) Sai. Điểm \(N\left( {8;9;0} \right)\) có khoảng cách đến tâm \(H\left( {2;1;0} \right)\) là:

\(HN = \sqrt {{{(8 - 2)}^2} + {{(9 - 1)}^2}} = \sqrt {{6^2} + {8^2}} = 10\) đơn vị = 100 m.

Khoảng cách ngắn nhất từ \(N\) đến vùng phủ sóng là:\(d = HN - r = 100{\rm{ m}} - 50{\rm{ m}} = 50{\rm{ m}}\).

d) Đúng. Vận tốc \(v = 1{\rm{ m/s}} = 0,1{\rm{ }}\)đơn vị. Thời gian trong vùng phủ sóng là \(60{\rm{ s}}\), suy ra chiều dài đoạn đường trong vùng phủ sóng (dây cung của đường tròn đáy) là \(L = 60 \times 0,1 = 6\) đơn vị.

Khoảng cách từ tâm \(H\left( {2;1;0} \right)\) đến đường thẳng \(AB\) là \(d\left( {H,AB} \right) = \sqrt {{r^2} - {{\left( {\frac{L}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {{5^2} - {3^2}} = 4\)

Đường thẳng \(AB\) trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) đi qua \(A\left( {6;9} \right)\) và \(B\left( { - 4;b} \right)\) có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow u = \left( { - 10;b - 9} \right) \Rightarrow \overrightarrow n = \left( {b - 9;10} \right)\].

Phương trình đường thẳng \[AB:\left( {b - 9} \right)\left( {x - 6} \right) + 10\left( {y - 9} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {b - 9} \right)x + 10y - 6b - 36 = 0\].

Khoảng cách từ \(H\left( {2;1} \right)\) đến \(AB\):

\(d\left( {H,AB} \right) = \frac{{\left| {2\left( {b - 9} \right) + 10 \cdot 1 - 6b - 36} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {b - 9} \right)}^2} + {{10}^2}} }} = \frac{{4\left| {b + 11} \right|}}{{\sqrt {{b^2} - 18b + 181} }} = 4\)

\( \Leftrightarrow {\left( {b + 11} \right)^2} = {b^2} - 18b + 181 \Leftrightarrow 40b = 60 \Leftrightarrow b = \frac{3}{2}\)