PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Một chiếc máy bay có thể xuất hiện ở vị trí A với xác suất \(\frac{2}{3}\) và ở vị trí B với xác suất \(\frac{1}{3}\). Người ta bố trí 1 khẩu đặt tại A, \(3\) khẩu đặt tại B. Biết rằng xác suất bắn trúng máy bay của mỗi khẩu pháo là 0,7 và các khẩu pháo hoạt động độc lập với nhau. Giả sử máy bay bị bắn trúng thì xác suất máy bay bị bắn trúng tại vị trí A là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Đáp án: 10,9.

Ta có 2 đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\) là \(x = 1,y = 1.\)

Kẻ đường thẳng \({d_1}\) sao cho \({d_1}\) là đường phân giác của góc tạo bởi 2 đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(\left( C \right)\).

Suy ra \({d_1}\) là trục đối xứng của đồ thị và hình vuông.

Khi đó ta có hình vẽ bên.

Suy ra \(2d\left( {A,{d_1}} \right) = d(A,d).\)

Để tìm khoảng cách từ \(A\) đến \({d_1}\), ta cần tìm được phương trình đường thẳng \({d_1}\).

Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận \(x = 1,y = 1 \Rightarrow I\left( {1\,;1} \right)\).

Xét tam giác vuông IPQ, ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{IP = IQ = 1}\\{\widehat {PIH} = \widehat {HIQ} = 45^\circ }\end{array}} \right.\) (vì \(IH \in {d_1}\) là đường phân giác của \(\widehat {PIQ}\)).

Suy ra \(IH \bot PQ\) hay \({d_1} \bot d\).

Ta có \(d:y = - x + 1\) hay \(d:x + y - 1 = 0\) có vectơ pháp tuyến là \(\vec n = \left( {1\,;1} \right)\).

Vì \({d_1} \bot d\) nên tích vô hướng của 2 vectơ pháp tuyến của \({d_1}\) và \(d\) bằng 0 suy ra vectơ pháp tuyến của \({d_1}\) là \({\vec n_1} = \left( { - 1;1} \right)\).

Đường thẳng \({d_1}\) đi qua điểm \(I\left( {1\,;1} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \({\vec n_1} = \left( { - 1;1} \right)\) có phương trình là \({d_1}: - x + y = 0.\)

Vì \(A \in \left( C \right) \Rightarrow A\left( {x;\frac{{x + 1}}{{x - 1}}} \right).\)

Ta có \(2d\left( {A,{d_1}} \right) = d(A,d) \Leftrightarrow 2\frac{{\left| { - x + \frac{{x + 1}}{{x - 1}}} \right|}}{{\sqrt {{{( - 1)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{\left| {x + \frac{{x + 1}}{{x - 1}} - 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }}\)\( \Leftrightarrow 2\left| { - {x^2} + 2x + 1} \right| = \left| {{x^2} - x + 2} \right|\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2\left( { - {x^2} + 2x + 1} \right) = {x^2} - x + 2\\2\left( { - {x^2} + 2x + 1} \right) = - {x^2} + x - 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3{x^2} - 5x = 0\\{x^2} - 3x - 4 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \frac{5}{3}\\x = - 1\\x = 4\end{array} \right.\). Suy ra \(x = \frac{5}{3} \Rightarrow AD = \frac{{7\sqrt 2 }}{3}\).

Suy ra diện tích mặt sàn nổi hình vuông là \(S = {\left( {\frac{{7\sqrt 2 }}{3}} \right)^2} = \frac{{98}}{9} \approx 10,9.\)

Đáp án: 20,7.

Ta có hình vẽ trên thể hiện mặt cắt của đồng hồ cát qua tâm hình trụ theo phương thẳng đứng của chiều cao.

Ta có \(OF = 4,OE = h.\)

Vì ban đầu lượng cát dồn hết ở phần trên của đồng hồ thì chiều cao của mực cát bằng \(\frac{2}{3}\) chiều cao của bên đó nên \(OD = \frac{3}{2}h.\)

\( \Rightarrow \) Chiều cao của khối trụ bên ngoài là \(DK = 2OD = 3h.\)

Vì khi chiều cao của cát còn 4 cm thì bề mặt trên cùng của cát tạo thành một đường tròn có chu vi bằng \(8\pi \;\,{\rm{cm}}\).

\( \Rightarrow 2\pi \cdot AF = 8\pi \Rightarrow AF = 4 \Rightarrow A\left( { - 4\,;\,4} \right),B\left( {4\,;4} \right)\).

Parabol đi qua gốc tọa độ \(O\) và 2 điểm A, B có dạng \(y = a{x^2}\quad \left( P \right).\)

Thay tọa độ điểm \(A\) vào phương trình parabol \(\left( P \right)\) ta được:

\(a = \frac{1}{4} \Rightarrow y = \frac{{{x^2}}}{4}.\)

Cát chảy từ trên xuống với tốc độ \(v\left( t \right) = 0,2t + 13\,\,({\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}{\rm{/}}\)phút) và sau 20 phút thì các chảy hết xuống phía dưới đồng hồ nên ta có thể tích cát ban đầu dồn hết ở phần trên của đồng hồ là

\(V = \int\limits_0^{20} {\left( {0,2t + 13} \right)} \,{\rm{d}}t = 300\).

Thể tích giới hạn bởi parabol \(\left( P \right):x = 2\sqrt y \), các đường thẳng \(y = 0,y = h\) khi quay quanh trục Oy chính là thể tích cát ban đầu dồn hết ở phần trên của đồng hồ nên ta có:

\(\pi \int\limits_0^h {{{\left( {2\sqrt y } \right)}^2}{\rm{d}}y} = 300 \Rightarrow 2{h^2} = \frac{{300}}{\pi } \Rightarrow h = 5\sqrt {\frac{6}{\pi }} \)\( \Rightarrow DK = 15\sqrt {\frac{6}{\pi }} \approx 20,7\).