Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\;\\y = - 1\;\\z = 3 + 2t\end{array} \right.}\end{array}\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\). Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của \(d\)?     

Mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 4y - 4z + 3 = 0\) có tâm \(I\left( {2\,; - 2\,;2} \right)\) và bán kính

\(R = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2} - 3} = 3.\) Vậy đường kính của mặt cầu \(\left( S \right)\) là 6. Chọn B.

Đáp án: 0,67.

Vì phần dưới của ống khói là 1 khối chóp cụt đều, do đó 2 đáy của khối chóp cụt này là hình vuông (với độ dài đáy lớn bằng \(2x\) và độ dài đáy nhỏ bằng \(x\)), dẫn đến 2 đáy của khối hộp chữ nhật cũng là hình vuông (có độ dài là \(x\)).

Để tính thể tích của 2 khối trên, ta áp dụng các công thức sau:

+) Tính thể tích của khối hộp chữ nhật: \(V = a \cdot b \cdot c\) với \(a,b,c\) lần lượt là chiều dài, chiều rộng và chiều cao của hình.

+) Tính thể tích của khối chóp cụt:

\(V = \frac{1}{3} \cdot h \cdot \left( {S + \sqrt {S \cdot S'} + S'} \right)\) với \(h\) là chiều cao của khối chóp, \(S\) là diện tích đáy lớn và \(S'\) là diện tích đáy nhỏ của khối chóp cụt.

Dựa vào hình chiếu đã cho, ta có:

+) Khối hộp chữ nhật có đáy là hình vuông cạnh bằng \(x\) và chiều cao bằng 3x:

Suy ra thể tích \({V_2} = x \cdot x \cdot 3x = 3{x^3}\).

+) Kẻ \(AH \bot BH,CE \bot BD\) và kí hiệu các điểm như hình vẽ:

Khi đó, ta có \(2BH = 2x - x = x \Rightarrow BH = \frac{x}{2}.\)

Xét tam giác vuông ABH vuông tại H, ta có: \(\tan 60^\circ = \frac{{AH}}{{BH}}\)

\( \Rightarrow AH = BH \cdot \tan 60^\circ = \frac{x}{2} \cdot \sqrt 3 \).

Khối chóp cụt đều có chiều cao là \(AH = \frac{{x\sqrt 3 }}{2}\), diện tích đáy lớn là \(S = {\left( {2x} \right)^2} = 4{x^2}\) và diện tích đáy nhỏ là \(S' = {x^2}\) có thể tích bằng \({V_1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{x\sqrt 3 }}{2} \cdot \left( {4{x^2} + \sqrt {4{x^2} \cdot {x^2}} + {x^2}} \right)\)

                 \( = \frac{1}{3} \cdot \frac{{x\sqrt 3 }}{2} \cdot \left( {4{x^2} + 2{x^2} + {x^2}} \right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{x\sqrt 3 }}{2} \cdot 7{x^2}\)\( = \frac{{7\sqrt 3 {x^3}}}{6}.\)

Suy ra \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{\frac{{7\sqrt 3 {x^3}}}{6}}}{{3{x^3}}} \approx 0,67.\)