Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z - 1}}{1}\) và hai mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + 2z + 2 = 0,\,\,\left( Q \right):x + 2y - 2z + 14 = 0\).

a) Sai. Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 2;2} \right)\); mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;2; - 2} \right)\).

Vì \(\overrightarrow {{n_P}} \) và \(\overrightarrow {{n_Q}} \) không cùng phương nên hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) không song song với nhau.

b) Sai. Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 2;2} \right)\).

\(d\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2; - 2;1} \right)\).

Ta có \(\sin \alpha = \frac{{\left| {1 \cdot 2 - 2 \cdot \left( { - 2} \right) + 2 \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{8}{9}\).

c) Đúng. Gọi \(M\) là giao điểm của đường thẳng \(d\) và \(\Delta \). Khi đó \(M\left( { - 1 + 2t;1 - 2t;1 + t} \right) \in d\).

Vì đường thẳng \(\Delta \) nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) nên \(M \in \left( P \right)\).

Do đó \( - 1 + 2t - 2\left( {1 - 2t} \right) + 2\left( {1 + t} \right) + 2 = 0 \Rightarrow 8t = - 1 \Rightarrow t = - \frac{1}{8}\).

Suy ra \(M\left( { - \frac{5}{4};\frac{5}{4};\frac{7}{8}} \right)\).

Lại có \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( {2;3;2} \right)\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \).

Do đó phương trình đường thẳng \(\Delta \) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{5}{4} + 2t\\y = \frac{5}{4} + 3t\\z = \frac{7}{8} + 2t\end{array} \right.\).

d) Đúng. Tâm \(I \in d\) \( \Rightarrow I\left( {2t - 1; - 2t + 1;t + 1} \right)\).

Ta có \(\left( S \right)\) tiếp xúc với \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) \( \Rightarrow d\left( {I,\left( P \right)} \right) = d\left( {I,\left( Q \right)} \right) = R\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {2t - 1 - 2\left( { - 2t + 1} \right) + 2\left( {t + 1} \right) + 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{{\left| {2t - 1 + 2\left( { - 2t + 1} \right) - 2\left( {t + 1} \right) + 14} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = R\)

\( \Leftrightarrow \left| {8t + 1} \right| = \left| { - 4t + 13} \right|\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}8t + 1 = - 4t + 13\\8t + 1 = 4t - 13\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = - \frac{7}{2}\end{array} \right.\).

Vì \(a < 0\) nên chọn \(t = \frac{{ - 7}}{2}\).

Suy ra \(I\left( { - 8;8; - \frac{5}{2}} \right)\) thỏa mãn \(R = d\left( {I,\left( P \right)} \right) = 9\).