Hệ thống mạch máu chứa các mạch máu gồm động mạch chính, động mạch con, mao mạch và tĩnh mạch để giúp đưa máu từ tim đến các cơ quan và ngược lại. Hệ thống hoạt động để tối ưu hoá (tối thiểu) năng lượng mà tim sử dụng trong quá trình bơm máu. Đặc biệt năng lượng này giảm khi sức cản của máu giảm. Hình vẽ dưới đây minh hoạ một mạch máu chính có bán kính \({r_1}\) phân nhánh với một góc \(\alpha ^\circ \) tạo thành một mạch máu nhỏ hơn với bán kính \({r_2}.\)

Sử dụng mô tả Định luật Poiseuille, người ta đã chứng minh được sức cản của máu theo con đường \(ABC\) là \(R\left( \alpha \right) = C\left( {\frac{{a - b\cot \alpha }}{{r_1^4}} + \frac{b}{{r_2^4 \cdot \sin \alpha }}} \right)\) với C, a, b là các hằng số. Khi bán kính mạch máu nhỏ bằng \(\frac{2}{3}\) bán kính mạch máu chính. Xác định \(\alpha \) để sức cản này là nhỏ nhất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Đáp án: 0,6.

Gọi \(K\) là hình chiếu của \(A\) lên \(Ox\), \(H\) là hình chiếu của \(B\) lên \(Ox\).

Tam giác \(AOQ\) vuông tại \(Q\) có \(QB\) là đường cao \( \Rightarrow OB \cdot OA = O{Q^2}\)\( \Rightarrow OB = \frac{{O{Q^2}}}{{OA}} = \frac{4}{{\sqrt {{x^2} + 4} }}\).

Ta có \(OA = \sqrt {O{K^2} + A{K^2}} = \sqrt {{x^2} + 4} .\)

\(\frac{{BH}}{{AK}} = \frac{{OB}}{{OA}} \Rightarrow BH = \frac{{AK \cdot OB}}{{OA}} \Rightarrow y = \frac{{2 \cdot \frac{4}{{\sqrt {{x^2} + 4} }}}}{{\sqrt {{x^2} + 4} }} = \frac{8}{{{x^2} + 4}}\).

\( \Rightarrow y' = \frac{{ - 8 \cdot 2x}}{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}} = - \frac{{16x}}{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}}.\)

\(y'' = - 16 \cdot \frac{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2} - 2\left( {{x^2} + 4} \right) \cdot 2x \cdot x}}{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^4}}}\)

\( = - 16 \cdot \frac{{\left( {{x^2} + 4} \right)\left( {{x^2} + 4 - 4{x^2}} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^4}}} = - 16 \cdot \frac{{\left( {{x^2} + 4} \right)\left( { - 3{x^2} + 4} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^4}}}\)\( = - 16 \cdot \frac{{\left( { - 3{x^2} + 4} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^3}}}\).

\(y'' = 0 \Leftrightarrow - 16 \cdot \frac{{ - 3{x^2} + 4}}{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^3}}} = 0 \Leftrightarrow - 3{x^2} + 4 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = \frac{4}{3}\)\( \Leftrightarrow x = \pm \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\).

Bảng biến thiên hàm số \(y'\):

Dựa vào BBT ta có: \({y'_{\max }} = \frac{{3\sqrt 3 }}{8} \approx 0,6.\)

Đáp án: 18,7.

Ta có \(\widehat {ANB} = 90^\circ \) nên \(N\) thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\) có đường kính \(AB = 6\), bán kính \(R = 3\), tâm \(I\left( {0\,;0\,;1} \right)\).

Lại có \(N \in MA \Rightarrow N \in \left( {A\,;d} \right)\), tức \(N\) chạy trên mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa \(A\) và d.

Chọn điểm \(K\left( { - 1\,;1\,;1} \right) \in d \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {AK} } \right] = \left( {10\,;5\,; - 10} \right) = 5\left( {2\,;1\,; - 2} \right) = 5\overrightarrow n \).

Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa \(A\left( {2\,; - 1\,;3} \right)\) có \(\overrightarrow n = \left( {2\,;1\,; - 2} \right)\) là:

\(2\left( {x - 2} \right) + \left( {y + 1} \right) - 2\left( {z - 3} \right) = 0\) hay \(2x + y - 2z + 3 = 0.\)

Ta có: \(d = d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2 \cdot 0 + 0 - 2 \cdot 1 + 3} \right|}}{{\sqrt {4 + 1 + 4} }} = \frac{1}{3}\).

\(N\) vừa thuộc \(\left( S \right)\) vừa thuộc \(\left( P \right)\) nên \(N\) thuộc đường tròn giao tuyến của \(\left( S \right)\) và \(\left( P \right)\).

Bán kính đường tròn giao tuyến là \(r = \sqrt {{R^2} - {d^2}} = \sqrt {{3^2} - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2}} = \frac{{4\sqrt 5 }}{3}\).

Vậy độ dài đường cong là: \(2\pi r = \frac{{8\pi \sqrt 5 }}{3} \approx 18,7.\)