Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {2; - 1;3} \right),B\left( { - 2;1; - 1} \right)\) và đường thẳng \(d:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 4}} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}.\) Gọi \(M\) là điểm chạy trên đường thẳng \(d\) và \(N\) là chân đường cao hạ từ \(B\) lên đường thẳng \(AM\). Biết điểm \(N\) luôn chạy trên một đường cong cố định. Độ dài đường cong đó bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Hình vẽ sau mô tả một đường cong Agnesi và được xây dựng trong hệ tọa độ \(Oxy\) như sau: vẽ một đường tròn có tâm \(I\left( {0\,;1} \right)\) và bán kính bằng 1, từ điểm \(O\) kẻ một đường thẳng cắt đường tròn tại điểm thứ 2 là điểm \(B\) và cắt đường thẳng \(y = 2\) tại điểm \(A\). Gọi \(P\) là giao điểm của đường thẳng qua \(A\) vuông góc với \(Ox\) và đường thẳng qua \(B\) vuông góc với \(Oy\). Tập hợp các điểm \(P\) tạo thành một đường cong \(y = f\left( x \right)\) gọi là đường cong Agnesi. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) có hệ số góc lớn nhất bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Cho tứ diện \(ABCD\), tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(B\), \(DA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\), \(M\) là trung điểm \(AC\), \(AB = 2\), góc giữa đường thẳng \(CD\) với mặt phẳng \(\left( {BDM} \right)\) bằng \(\alpha \) biết \(\sin \alpha = \frac{1}{3}.\) Thể tích của khối tứ diện \(ABCD\) bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Hệ thống mạch máu chứa các mạch máu gồm động mạch chính, động mạch con, mao mạch và tĩnh mạch để giúp đưa máu từ tim đến các cơ quan và ngược lại. Hệ thống hoạt động để tối ưu hoá (tối thiểu) năng lượng mà tim sử dụng trong quá trình bơm máu. Đặc biệt năng lượng này giảm khi sức cản của máu giảm. Hình vẽ dưới đây minh hoạ một mạch máu chính có bán kính \({r_1}\) phân nhánh với một góc \(\alpha ^\circ \) tạo thành một mạch máu nhỏ hơn với bán kính \({r_2}.\)

Sử dụng mô tả Định luật Poiseuille, người ta đã chứng minh được sức cản của máu theo con đường \(ABC\) là \(R\left( \alpha \right) = C\left( {\frac{{a - b\cot \alpha }}{{r_1^4}} + \frac{b}{{r_2^4 \cdot \sin \alpha }}} \right)\) với C, a, b là các hằng số. Khi bán kính mạch máu nhỏ bằng \(\frac{2}{3}\) bán kính mạch máu chính. Xác định \(\alpha \) để sức cản này là nhỏ nhất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Bắc đi từ nhà (điểm A) đến trường (điểm B). Biết rằng toàn bộ cung đường theo bản đồ từ trên xuống dưới, từ trái qua phải là đường một chiều vì vậy Bắc chỉ được phép đi xuống hoặc đi sang phải.

Vậy Bắc có bao nhiêu cách đến trường?