Trong hệ toạ độ \(Oxyz\), có một mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 3\) và đường thẳng \(\Delta :\frac{{x + 4}}{6} = \frac{{y - 6}}{{ - 2}} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}}.\) Từ điểm \(M \in \Delta \) kẻ các tiếp tuyến đến mặt cầu \(\left( S \right)\) và gọi \(\left( C \right)\) là tập hợp các tiếp điểm. Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(\left( C \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \(\left( C \right)\) thuộc mặt phẳng \(x + by + cz + d = 0.\) Tìm \(b + c + d.\)

Đáp án: −2.

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1\,;2\,; - 1} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 3 .\)

\(\Delta :\frac{{x + 4}}{6} = \frac{{y - 6}}{{ - 2}} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}}\) hay \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 4 + 6t}\\{y = 6 - 2t}\\{z = 2 - t}\end{array},t \in \mathbb{R}} \right..\)

Lấy \(M\left( { - 4 + 6t\,;6 - 2t\,;2 - t} \right) \in \Delta \).

\( \Rightarrow \overrightarrow {IM} = \left( { - 5 + 6t;4 - 2t;3 - t} \right)\).

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(\left( C \right)\) bằng \(S = \pi \cdot A{H^2}.\)

Do đó \({S_{\min }} \Leftrightarrow A{H_{\min }}.\)

Mà \(IH = \sqrt {A{I^2} - A{H^2}} = \sqrt {3 - A{H^2}} \Rightarrow I{H_{\max }}{\rm{. }}\)

Lại có \(IH \cdot IM = A{I^2} = 3 \Rightarrow IM = \frac{3}{{IH}} \Rightarrow I{M_{\min }}\)\( \Rightarrow M\) là hình chiếu của \(I\) xuống \(\Delta \).

\( \Rightarrow \overrightarrow {IM} \cdot \overrightarrow {{u_\Delta }} = 0 \Rightarrow 6\left( { - 5 + 6t} \right) - 2\left( {4 - 2t} \right) - \left( {3 - t} \right) = 0\)\( \Rightarrow 41t - 41 = 0 \Rightarrow t = 1 \Rightarrow M\left( {2\,;4\,;1} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {IM} = \left( {1\,;2\,;2} \right),\,\,IM = 3,\,\,IH = 1\).

\( \Rightarrow \overrightarrow {IH} = \frac{1}{3}\overrightarrow {IM} = \left( {\frac{1}{3};\frac{2}{3};\frac{2}{3}} \right) \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_H} - 1 = \frac{1}{3}}\\{{y_H} - 2 = \frac{2}{3}}\\{{z_H} + 1 = \frac{2}{3}}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_H} = \frac{4}{3}}\\{{y_H} = \frac{8}{3}}\\{{z_H} = - \frac{1}{3}}\end{array}} \right.} \right.\)\( \Rightarrow H\left( {\frac{4}{3};\frac{8}{3}; - \frac{1}{3}} \right).\)

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(H\left( {\frac{4}{3};\frac{8}{3}; - \frac{1}{3}} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {IM} = \left( {1\,;2\,;2} \right)\) có phương trình là

\(\left( {x - \frac{4}{3}} \right) + 2\left( {y - \frac{8}{3}} \right) + 2\left( {z + \frac{1}{3}} \right) = 0\) hay \(x + 2y + 2z - 6 = 0\).

Vậy \(b = 2,c = 2,d = - 6\) hay \(b + c + d = - 2\).