Cho một tấm tôn hình một tam giác đều có cạnh bằng \(2\,{\rm{m}}\). Người ta thiết kế một hình lục giác đều và sáu hình chữ nhật ở phía ngoài lục giác có một cạnh bằng cạnh của lục giác, một cạnh bằng \(x\) (mét) với \(0 < x < \frac{2}{3}\). Sau đó người ta cắt theo nét đứt đoạn để thu được một hình hợp bởi một lục giác đều và sáu hình chữ nhật. Sau đó gấp các hình chữ nhật để tạo thành khối lăng trụ lục giác đều (tham khảo hình vẽ dưới đây). Thể tích của khối lăng trụ lớn nhất bằng bao nhiêu decimét khối \({\rm{(d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}})\) (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Đáp án: 38.

Chi phí sản xuất cho \[x\] sản phẩm là \[xG\left( x \right) = {x^3} - 77{x^2} + 1000x + 40000\](nghìn đồng).

Lợi nhuận thu được của doanh nghiệp:

\[h\left( x \right) = - 2{x^2} + 1312x - \left( {{x^3} - 77{x^2} + 1000x + 40000} \right) = - {x^3} + 75{x^2} + 312x - 40000\] (nghìn đồng).

Ta có: \[h'\left( x \right) = - 3{x^2} + 150x + 312\]. Trên khoảng \[\left( {1;\,300} \right)\], \[h'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 52\].

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta suy ra được lợi nhuận lớn nhất của doanh nghiệp khoảng \[38\]triệu đồng.

a) Đúng. Ta có

\[\begin{array}{l} - 1 \le \sin \left[ {\frac{\pi }{{180}}\left( {t - 70} \right)} \right] \le 1 \Leftrightarrow - 3 \le 3\sin \left[ {\frac{\pi }{{180}}\left( {t - 70} \right)} \right] \le 3\\ \Rightarrow 7 \le \sin \left[ {\frac{\pi }{{180}}\left( {t - 70} \right)} \right] + 10 \le 13\end{array}\]

\[d\left( t \right) = 13\] khi \[\sin \left[ {\frac{\pi }{{180}}\left( {t - 70} \right)} \right] = 1 \Leftrightarrow \frac{\pi }{{180}}\left( {t - 70} \right){\rm{ = }}\frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow t = 160 + 360k\].

Mà \[0 < t \le 365\] nên \[0 < 160 + 360k \le 360,\,\,k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k = 0,t = 160.\]

Giá trị lớn nhất của \[d\left( t \right)\] là \[13\] khi \[t = 160\].

Vậy ngày có nhiều giờ ánh sáng nhất là \[13\] giờ, là ngày thứ \[160\] trong năm.

b) Đúng. Hàm \[d\left( t \right) = 3\sin \left[ {\frac{\pi }{{180}}\left( {t - 70} \right)} \right] + 10\] nghịch biến trên \[\left( {\frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{{3\pi }}{2} + k2\pi } \right)\], trong một chu kì, hàm \[d\left( t \right) = 3\sin \left[ {\frac{\pi }{{180}}\left( {t - 70} \right)} \right] + 10\] nghịch biến trên \[\left( {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right)\] nên

\[\frac{\pi }{2} < \frac{\pi }{{180}}\left( {t - 70} \right) < \frac{{3\pi }}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{2} < \frac{1}{{180}}\left( {t - 70} \right) < \frac{3}{2} \Leftrightarrow 90 < t - 70 < 270 \Leftrightarrow 160 < t < 340\].

Vậy kể từ này thứ 161 đến ngày thứ 340, số giờ có ánh sáng của thành phố A bắt đầu giảm.

Tháng 7 năm không nhuận bắt đầu từ ngày thứ \[182\] trong năm.

c) Sai. Theo đề bài ta có

\[d\left( t \right) = 3\sin \left[ {\frac{\pi }{{180}}\left( {t - 70} \right)} \right] + 10 > 10 \Leftrightarrow \sin \left[ {\frac{\pi }{{180}}\left( {t - 70} \right)} \right] > 0 \Leftrightarrow 0 < \frac{\pi }{{180}}\left( {t - 70} \right) < \pi \]

\[ \Leftrightarrow 0 < t - 70 < 180 \Leftrightarrow 70 < t < 250\].

Số ngày có nắng nhiều hơn 10 giờ là \[250 - 70 = 180\].

d) Đúng. Khi \[t = 70\] thì \[d\left( {70} \right) = 3\sin 0 + 10 = 10\] nên thành phố có \[10\]giờ có ánh sáng.