Một hãng điện thoại đưa ra quy luật bán buôn cho từng đại lí, đó là đại lí càng nhập nhiều chiếc điện thoại của hãng thì giá bán buôn một chiếc điện thoại càng giảm. Cụ thể, nếu đại lí mua \[x\] điện thoại thì giá tiền của mỗi điện thoại là \[6000 - 3x\] (nghìn đồng), \[x \in {\mathbb{N}^*},x < 2000\]. Đại lí nhập cùng một lúc bao nhiêu chiếc điện thoại thì hãng có thể thu về nhiều tiền nhất từ đại lí đó?

Đáp án: \(9,8\).

Gọi parabol \(y = f\left( x \right)\) có dạng \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\). Parabol \(y = f\left( x \right)\) nhận \(Oy\) làm trục đối xứng nên ta có \(\frac{{ - b}}{{2a}} = 0 \Leftrightarrow b = 0\). Lại có đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) đi qua điểm \(\left( {0; - 1} \right)\) và điểm \(\left( {2;0} \right)\) nên \(a = \frac{1}{4}\) và \(c = - 1\). Vậy parabol \(y = f\left( x \right) = \frac{1}{4}{x^2} - 1\).

Tương tự, ta cũng có parabol \(y = g\left( x \right) = - \frac{1}{4}{x^2} + 2\).

Phương trình hoành độ giao điểm của \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) là:

\(\frac{1}{4}{x^2} - 1 = - \frac{1}{4}{x^2} + 2 \Leftrightarrow x = \sqrt 6 \) hoặc \(x = - \sqrt 6 \).

Khi đó, diện tích của logo là:

\[S = \int\limits_{ - \sqrt 6 }^{\sqrt 6 } {\left[ {\left( { - \frac{1}{4}{x^2} + 2} \right) - \left( {\frac{1}{4}{x^2} - 1} \right)} \right]{\rm{d}}x} = \int\limits_{ - \sqrt 6 }^{\sqrt 6 } {\left( {3 - \frac{1}{2}{x^2}} \right){\rm{d}}x = } \left. {\left( {3x - \frac{{{x^3}}}{6}} \right)} \right|_{ - \sqrt 6 }^{\sqrt 6 } = 4\sqrt 6 \approx 9,8\,\,\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\].

Ta có \(y = \frac{1}{8}\left( {{x^3} - 3{x^2} - 9x - 5} \right) \Rightarrow y' = \frac{1}{8}\left( {3{x^2} - 6x - 9} \right)\).

a) Sai. Ta có

\(y' = \frac{1}{8}\left( {3{x^2} - 6x - 9} \right) = \frac{3}{8}\left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^2} - 4} \right] \ge - \frac{3}{2}\)

Dấu đẳng thức xảy ra khi \({x_0} = 1 \Rightarrow {y_0} = - 2\).

Vậy tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị hàm số \(\left( C \right)\) là tiếp tuyến tại điểm \(\left( {1; - 2} \right)\) có phương trình là \(y = y'\left( 1 \right)\left( {x - 1} \right) - 2 = - \frac{3}{2}\left( {x - 1} \right) - 2 = - \frac{3}{2}x - \frac{1}{2}\) nên tiếp tuyến không đi qua điểm \(A\left( {0; - \frac{7}{3}} \right)\).

b) Sai. Hàm số \(y = \frac{1}{8}\left( {{x^3} - 3{x^2} - 9x - 5} \right)\) liên tục trên \(\left[ {4;8} \right]\).

Giải \[y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x - 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1 \notin \left[ {4;8} \right]\\x = 3 \notin \left[ {4;\,8} \right]\end{array} \right.\].

Ta có \[y\left( 4 \right) = - \frac{{25}}{8};\,\,y\left( 8 \right) = \frac{{243}}{8} \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {4;\,8} \right]} y = y\left( 8 \right) = \frac{{243}}{8}\].

c) Đúng. Ta có: \(y'' = \frac{1}{8}\left( {6x - 6} \right)\). Giải \(y'' = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{8}\left( {6x - 6} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow y = - 2\) nên tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số đã cho là \(\left( {1; - 2} \right)\) .

d) Đúng. Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị là \(A\left( { - 1;0} \right);\;B\left( {3; - 4} \right)\).