Trong lần đầu tiên nuôi gà, một trang trại do thiếu kinh nghiệm nên dự tính lượng thức ăn cho gà hằng ngày là không đổi và đã dự trữ thức ăn đủ dùng trong \[50\] ngày. Nhưng thực tế, theo sự phát triển của gà, để đảm bảo chất lượng thì kể từ ngày thứ 2 trở đi lượng thức ăn nuôi gà mỗi ngày của trang trại đã tăng thêm \[1\% \] so với ngày trước đó. Hỏi lượng thức ăn mà trang trại dự trữ đủ dùng cho gà ăn tối đa bao nhiêu ngày mà vẫn đảm bảo chất lượng ăn mỗi ngày? (lấy kết quả số ngày là số nguyên).

Đáp án: 7.

Theo giả thiết, tốc độ thay đổi của \(x\) tỉ lệ với tốc độ thay đổi của \[p\] nên hàm số \(p = p\left( x \right)\) là hàm số bậc nhất. Do đó, \(p\left( x \right) = ax + b\) \((a\) khác 0\()\).

Giá tiền \({p_1} = 10\) ứng với \({x_1} = 600\), giá tiền \({p_2} = 9,6\) ứng với \({x_2} = 600 + 60 = 660\).

Do đó, phương trình đường thẳng \(p\left( x \right) = ax + b\) đi qua hai điểm \(\left( {600\,;10} \right)\) và \(\left( {660\,;9,6} \right)\).

Ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{10 = 600a + b}\\{9,6 = 660a + b}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = \frac{{ - 1}}{{150}}}\\{b = 14}\end{array}} \right.\) (thỏa mãn).

Vậy hàm cầu là \(p\left( x \right) = - \frac{1}{{150}}x + 14\).

Vì \(p = - \frac{1}{{150}}x + 14 \Rightarrow x = - 150p + 2100\) suy ra hàm doanh thu là:

\(R\left( p \right) = px = p\left( { - 150p + 2100} \right) = 150\left( { - {p^2} + 14p} \right)\).

Ta có \(R(p)\) lớn nhất \( \Leftrightarrow p = \frac{{ - B}}{{2A}} = 7\).

Vậy công ty phải bán mỗi máy lọc không khí với số tiền 7 triệu đồng để doanh thu là lớn nhất.

Đáp án: 12,4.

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) như hình vẽ với \(M\left( {0\,;\,m} \right)\,\,\left( {m < 0} \right)\) là đỉnh của parabol \(\left( {{P_1}} \right)\).

Khi đó \(\left( {{P_1}} \right):y = \frac{{7 - m}}{{36}}{x^2} + m\) và \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} = {m^2}.\)

Để \(\left( {{P_1}} \right),\,\,\left( C \right)\) có một điểm chung duy nhất thì phương trình sau có nghiệm duy nhất.

\({x^2} + {\left( {\frac{{7 - m}}{{36}}{x^2} + m} \right)^2} = {m^2} \Leftrightarrow {x^2}\left[ {{{\left( {\frac{{7 - m}}{{36}}} \right)}^2}{x^2} + \frac{{ - {m^2} + 7m + 18}}{{18}}} \right] = 0\).

\({\rm{YCBT}} \Leftrightarrow - {m^2} + 7m + 18 \ge 0 \Leftrightarrow - 2 \le m \le 9\). Mà \(m < 0\) nên \( - 2 \le m < 0\).

Khi đó, đường tròn \(\left( C \right)\) có diện tích lớn nhất khi \(\left( C \right)\) có bán kính lớn nhất, điều này xảy ra khi và chỉ khi \(m = - 2 \Rightarrow r = 2.\)

Hoành độ giao điểm của \(\left( {{P_1}} \right):y = \frac{1}{4}{x^2} - 2\) và trục hoành là \(x = \pm 2\sqrt 2 \).

Diện tích phần lát gạch là \(S = 4\int\limits_{2\sqrt 2 }^6 {\left( {\frac{1}{4}{x^2} - 2} \right){\rm{d}}x} + \pi {r^2} = \frac{{72 + 32\sqrt 2 }}{3} + 4\pi \).

Số tiền lát gạch là: \(240S \approx 12396,32\) (nghìn đồng) \( \approx 12,4\) (triệu đồng).