Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + x - 6}}{{x + 1}}\) có đồ thị là đường cong \(\left( C \right)\). Giả sử \(A,\,B\) là hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị \(\left( C \right)\) sao cho \(AB\) song song với trục hoành. 

a) Đúng.Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\). Ta có \(y = \frac{{{x^2} + x - 6}}{{x + 1}} = x - \frac{6}{{x + 1}}\).

nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {y - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - \frac{6}{{x + 1}}} \right) = 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {y - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - \frac{6}{{x + 1}}} \right) = 0\).

Suy ra tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là đường thẳng \(y = x\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{{x^2} + x - 6}}{{x + 1}} = - \infty \) nên tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng \(x = - 1\).

Tâm đối xứng của đồ thị \(\left( C \right)\) là giao điểm hai đường tiệm cận, nên \(I\left( { - 1; - 1} \right)\).

b) Sai. Ta có: \(y'\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 2x + 7}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\). Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right),\,\,\left( {{x_0} \ne - 1} \right)\) là tiếp điểm.

Vì tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\) tại \(M\) song song với đường thẳng \(d:\,y = 7x + 18\) nên

\(y'\left( {{x_0}} \right) = 7 \Leftrightarrow \frac{{{x_0}^2 + 2{x_0} + 7}}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}} = 7 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\{x_0} = - 2\end{array} \right.\), suy ra \(\left[ \begin{array}{l}M\left( {0; - 6} \right)\\M\left( { - 2;4} \right)\end{array} \right.\)

TH1: \(M\left( {0; - 6} \right)\), ta có phương trình tiếp tuyến là \({d_1}:y = 7x - 6\). (Thỏa)

TH2: \(M\left( { - 2;4} \right)\), ta có phương trình tiếp tuyến là \({d_2}:y = 7x + 18\) (Loại)

c) Sai. Gọi \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right);\,\,B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) là hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị \(\left( C \right)\), \({x_1} < - 1 < \,\,{x_2}\)

Vì \(AB\) song song với trục hoành nên \({y_1} = {y_2} = {y_0}\) và \({x_1};\,\,{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({y_0} = \frac{{{x^2} + x - 6}}{{x + 1}} \Leftrightarrow {x^2} + \left( {1 - {y_0}} \right)x - 6 - {y_0} = 0\,\,\left( 1 \right)\,\,\)(với \(x \ne - 1\)).

Ta có \({x_1} < - 1 < \,\,{x_2}\)\( \Leftrightarrow {x_1} + 1 < 0 < {x_2} + 1 \Leftrightarrow \left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right) < 0\)

\( \Leftrightarrow {x_1}{x_2} + \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 < 0 \Leftrightarrow - {y_0} - 6 + \left( {{y_0} - 1} \right) + 1 < 0 \Leftrightarrow - 6 < 0\).

Hiển nhiên đúng nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.

\(AB = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} = \sqrt {{{\left( {{y_0} - 1} \right)}^2} - 4\left( { - 6 - {y_0}} \right)} = \sqrt {{{\left( {{y_0} + 1} \right)}^2} + 24} \ge 2\sqrt 6 \)

Dấu “bằng” xảy ra khi chỉ khi \({y_0} = - 1\)và giá trị nhỏ nhất của đoạn thẳng \(AB\) bằng \(2\sqrt 6 \).

d) Đúng. Ta có \(y = \frac{{{x^2} + x - 6}}{{x + 1}} - x = \frac{{ - 6}}{{x + 1}}\). Thể tích cần tìm là \(V = \pi {\int\limits_0^m {\left( {\frac{{ - 6}}{{x + 1}}} \right)} ^2}dx = 36\pi \cdot \frac{m}{{m + 1}}\).

\(\mathop {\lim }\limits_{m \to + \infty } V = \mathop {\lim }\limits_{m \to + \infty } \left( {36\pi \cdot \frac{m}{{m + 1}}} \right) = 36\pi \).