PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(C\left( {0;6;1} \right)\) và đường thẳng \(\Delta \) song song với trục \(Oz\). Một điểm \(M\) di động trên \(\Delta \) sao cho \(0 \le {z_M} \le 10\). Biết rằng tổng khoảng cách từ hai điểm \(A\left( {3;0;0} \right)\) và \(B\left( { - 3;0;0} \right)\) đến \(\Delta \) bằng \(2\sqrt {34} \). Khi khoảng cách \(MC\) ngắn nhất, điểm \(M\) trùng với \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\). Tính \(S = {x_0} + 20{y_0} + 11{z_0}\).

Đáp án: 111

Do \[\Delta \,{\rm{//}}\,Oz\] nên phương trình tham số của \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = a\\y = b\\z = t\end{array} \right.\). Gọi \(P = \Delta \cap \left( {Oxy} \right) \Rightarrow P\left( {a\,;\,b\,;\,0} \right)\).

Ta có: \(A,\,B \in Ox \Rightarrow AP \bot \Delta ,\,BP \bot \Delta \);

\(d\left( {A,\Delta } \right) = AP = \sqrt {{{\left( {a - 3} \right)}^2} + {b^2}} \); \(d\left( {B,\Delta } \right) = BP = \sqrt {{{\left( {a + 3} \right)}^2} + {b^2}} \)

Theo đề bài: \(\sqrt {{{\left( {a - 3} \right)}^2} + {b^2}} + \sqrt {{{\left( {a + 3} \right)}^2} + {b^2}} = 2\sqrt {34} {\rm{ }}\left( 1 \right)\).

Trong mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\), có \(P\left( {a;b} \right)\). Khi đó: \(PA + PB = 2\sqrt {34} \) với \(A\left( {3;0} \right),B\left( { - 3;0} \right)\).

Suy ra \(P\)nằm trên đường elip có hai tiêu điểm \(A,B\)với \(2{a_{{\rm{elip}}}} = 2\sqrt {34} \Rightarrow {a_{{\rm{elip}}}} = \sqrt {34} \).

Khoảng cách hai tiêu điểm: \(2c = AB = 6 \Rightarrow c = 3\).

Suy ra: \[b_{{\rm{elip}}}^2 = {a_{elip}}^2 - {c^2} = 34 - 9 = 25\] nên \({b_{{\rm{elip}}}} = 5\).

Ta có phương trình elip: $\left(E\right):\frac{x^2}{34}+\frac{y^2}{25}=1$

Điểm \(M \in \Delta \) có tọa độ dạng: \(M\left( {a;b;{z_M}} \right)\).

Để \(MC\) nhỏ nhất thì \(M\) là hình chiếu của \(C\) trên \(\Delta \), suy ra \({z_M} = 1\)(vì \(0 \le 1 \le 10\), thỏa điều kiện).

Khi đó \(M{C^2} = {a^2} + {\left( {b - 6} \right)^2}\) nhỏ nhất với điều kiện: \(\frac{{{a^2}}}{{34}} + \frac{{{b^2}}}{{25}} = 1\).

Ta có \(\frac{{{a^2}}}{{34}} + \frac{{{b^2}}}{{25}} = 1\)\( \Rightarrow {a^2} = 34\left( {1 - \frac{{{b^2}}}{{25}}} \right) = 34 - \frac{{34{b^2}}}{{25}},b \in \left[ { - 5;5} \right]\).

Khi đó \(M{C^2} = 34 - \frac{{34{b^2}}}{{25}} + {\left( {b - 6} \right)^2} = - \frac{9}{{25}}{b^2} - 12b + 70 = f\left( b \right)\).

Có \(f'\left( b \right) = - \frac{{18}}{{25}}b - 12 < 0,\forall b \in \left[ { - 5;5} \right]\). Do đó \(f\left( b \right)\) luôn nghịch biến trên đoạn \(\left[ { - 5;5} \right]\).

Do đó \(f\left( b \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(b = 5\). Suy ra: \(a = 0,\,b = 5\).

Vậy trong hệ toạ độ không gian, ta có  $M_0=\left(0;5;1\right)$

\(S = {x_0} + 20{y_0} + 11{z_0}\)\( = 0 + 20 \cdot 5 + 11 \cdot 1\)\( = 100 + 11 = 111\).