Bút viết của một bảng vẽ điện tử được để trong một chiếc giá là một khối tròn xoay có mặt cắt qua trục là một hình phẳng có hình dạng và các kích thước gắn với hệ trục tọa độ \(Oxy\) như hình vẽ dưới đây:

Biết biên của mặt cắt gồm hai nửa đường tròn đường kính \(AB,\,\,CD\) và một cung của parabol đỉnh \(O\) nhận \(Ox\) là trục đối xứng; cho \[AB = CD = 3\,{\rm{cm}},{\rm{ }}OI = 1\,{\rm{cm}},{\rm{ }}AD = 3\,{\rm{cm}},{\rm{ }}MN = 2\,{\rm{cm}}\], đơn vị trên hệ trục là \[1\,{\rm{cm}}.\]

Gọi \(I = AB' \cap A'M\) và \(D = A'N \cap AC\).

Ta có \(\frac{{IA}}{{IB'}} = \frac{1}{2}\) nên suy ra \({\rm{d}}\left( {B',\left( {AMN} \right)} \right) = 2{\rm{d}}\left( {A,\left( {A'MN} \right)} \right)\).

Mặt khác, theo giả thiết

\(\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{A'M \bot \left( {ABC} \right)}\\{A'M \subset \left( {A'MD} \right)}\end{array}} \right\} \Rightarrow \left( {A'MD} \right) \bot \left( {ABC} \right)\).

Kẻ \(AE \bot MD\) mà \(\left( {A'MD} \right) \cap \left( {ABC} \right) = MD\). Suy ra \(AE = {\rm{d}}\left( {A,\left( {A'MD} \right)} \right)\).

Xét tam giác \(A'AD\), có \(\frac{{CD}}{{AD}} = \frac{{CN}}{{AA'}} = \frac{1}{2} \Rightarrow CD = \frac{1}{2}AD\).

Do đó \(AC = CD = 2\).

Mặt khác \(M{D^2} = A{M^2} + A{D^2} - 2AM \cdot AD \cdot \cos \widehat {MAD} = 13\)\( \Rightarrow MD = \sqrt {13} \).

\( \Rightarrow {S_{\Delta A'MD}} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot AD \cdot \sin \widehat {MAD} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 4 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 \).

Suy ra \({\rm{d}}\left( {A,\left( {A'MD} \right)} \right) = AE = \frac{{2 \cdot {S_{\Delta AMD}}}}{{MD}} = \frac{{2\sqrt 3 }}{{\sqrt {13} }}\)\( \Rightarrow {\rm{d}}\left( {B',\left( {AMN} \right)} \right) = \frac{{4\sqrt 3 }}{{\sqrt {13} }} \approx 1,92\).

Đáp án: 632

Bước 1: Thiết lập hàm chi phí trung bình mỗi ngày

Thời gian của một chu kỳ đặt hàng và tiêu thụ hết hàng là \(\frac{Q}{d}\) (ngày).

Gọi \(g\left( Q \right)\) là hàm chi phí trung bình mỗi ngày. Ta có công thức chi phí trung bình bằng tổng chi phí chia cho thời gian chu kỳ: \(g\left( Q \right) = \frac{f}{{\frac{Q}{d}}} = \frac{{K + cQ + \frac{{h{Q^2}}}{{2d}}}}{{\frac{Q}{d}}}\)

\( = \frac{d}{Q}\left( {K + cQ + \frac{{h{Q^2}}}{{2d}}} \right) = \frac{{Kd}}{Q} + cd + \frac{{hQ}}{2}\)

Bước 2: Tìm giá trị của lượng hàng \(Q\) để chi phí nhỏ nhất

Để \(g\left( Q \right)\)nhỏ nhất thì \(\frac{{Kd}}{Q} + \frac{{hQ}}{2}\) nhỏ nhất.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có \(\frac{{Kd}}{Q} + \frac{{hQ}}{2} \ge 2\sqrt {\frac{{Kd}}{Q} \cdot \frac{{hQ}}{2}} = \sqrt {2Kdh} \).

Dấu “=’ xảy ra khi \(Q = \sqrt {\frac{{2Kd}}{h}} \).

Bước 3: Thay số và tính toán

Thay các số liệu đã cho từ đề bài: \(d = 100\), \(K = 1000000\), \(h = 500\) vào công thức vừa tìm được: \(Q = \sqrt {\frac{{2 \cdot 1000000 \cdot 100}}{{500}}} \)\( = \sqrt {\frac{{200000000}}{{500}}} \)\( = \sqrt {400000} \)\( \approx 632,4555... \approx 632\).

Cửa hàng nên nhập 632 hộp trong mỗi lần đặt hàng để chi phí trung bình mỗi ngày là nhỏ nhất.