(1,0 điểm) Để tránh núi, đường giao thông hiện tại phải đi vòng theo đường gấp khúc \(ABCD\) như mô hình dưới đây:
Cho biết độ dài các đoạn thẳng \(AB = 10\) km, \(BC = CD = 30\) km; số đo các góc \(\widehat {ABC} = 100^\circ \), \(\widehat {BCD} = 150^\circ \).
Để rút ngắn khoảng cách và tránh sạt lở núi, người ta dự định làm một đường hầm xuyên núi, nối thẳng từ \(A\) tới \(D\). Hỏi độ dài đường mới sẽ giảm được bao nhiêu kilômét so với đường cũ? Làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng đơn vị.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Độ dài đường cũ là \(AB + BC + CD = 10 + 30 + 30 = 70\) (km).
Xét tam giác \(BCD\) có \(BC = CD = 30\) km, \(\widehat {BCD} = 150^\circ \).
Theo định lí côsin:
\(B{D^2} = B{C^2} + C{D^2} - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos 150^\circ = 900 + 900 + 1800 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = 900\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\),
suy ra \(BD = 30\sqrt {2 + \sqrt 3 } \) (km).
Tam giác \(BCD\) cân tại \(C\) nên \(\widehat {CBD} = \frac{{180^\circ - 150^\circ }}{2} = 15^\circ \).
Suy ra \(\widehat {ABD} = \widehat {ABC} - \widehat {CBD} = 100^\circ - 15^\circ = 85^\circ \).
Xét tam giác \(ABD\), theo định lí côsin:
\(AD = \sqrt {A{B^2} + B{D^2} - 2 \cdot AB \cdot BD \cdot \cos 85^\circ } \)
\( = \sqrt {{{10}^2} + B{D^2} - 2 \cdot 10 \cdot BD \cdot \cos 85^\circ } \approx 57,94672\) (km).
Độ dài đường mới giảm được so với đường cũ là \(70 - AD \approx 12,05328\) (km).
Vậy đường mới giảm được khoảng \(12{\rm{\;km}}\) so với đường cũ.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án: a) Đúng b) Sai c) Sai d) Đúng
a) Đúng. Biết hai cạnh \(b,\,\,c\) và góc xen giữa \(\widehat {A\,\,}\) nên áp dụng trực tiếp định lí côsin ta được:
\({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\).
b) Sai. Định lí sin: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\).
c) Sai. Diện tích tam giác: \(S = \frac{1}{2}bc\sin A\).
d) Đúng. Ta có: \({a^2} = {8^2} + {5^2} - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ = 64 + 25 - 40 = 49\), suy ra \(a = 7\).
Khi đó \(R = \frac{a}{{2\sin A}} = \frac{7}{{2 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{7}{{\sqrt 3 }} = \frac{{7\sqrt 3 }}{3}\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Ta có \(a = BC = 7\), \(b = AC = 5\), \(c = AB = 8\).
\(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{25 + 64 - 49}}{{2 \cdot 5 \cdot 8}} = \frac{{40}}{{80}} = \frac{1}{2}\), suy ra \(\widehat {A\,\,} = 60^\circ \).
Diện tích tam giác \(ABC\) là \(S = \frac{1}{2}AB \cdot AC \cdot \sin A = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = 10\sqrt 3 \).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập