Cho mặt cầu $\left(S\right)$ có bán kính $R=5cm$ . Mặt phẳng $\left(P\right)$ cắt mặt cầu $\left(S\right)$ theo giao tuyến là đường tròn $\left(C\right)$ có chu vi bằng$8\mathrm{\pi }$. Bốn điểm A, B, C, D thay đổi sao cho A, B, C thuộc đường tròn $\left(C\right)$, điểm D thuộc $\left(S\right)$(D không thuộc đường tròn $\left(C\right)$) và tam giác ABC là tam giác đều. Tính thể tích lớn nhất của tứ diện ABCD.

Một mảnh vườn hình elip có trục lớn bằng 100m, trục nhỏ bằng 80m được chia thành 2 phần bởi một đoạn thẳng nối hai đỉnh liên tiếp của elip. Phần nhỏ hơn trồng cây con và phần lớn hơn trồng rau. Biết lợi nhuận thu được là 2000 mỗi $m^2$ trồng cây con và 4000 mỗi $m^2$ trồng rau. Hỏi thu nhập từ cả mảnh vườn là bao nhiêu? (Kết quả được làm tròn đến hàng nghìn).

Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên thuộc tập A. Tính xác suất để chọn được một số thuộc A và số đó chia hết cho 5.

Người ta làm chiếc thùng phi dạng hình trụ, kín hai đáy, với thể tích theo yêu cầu là $2\mathrm{\pi } {\mathrm{m}}^3$. Hỏi bán kính đáy R và chiều cao h của thùng phi bằng bao nhiêu để khi làm thì tiết kiệm vật liệu nhất?

Cho dãy số vô hạn $\left\{u_n\right\}$ là cấp số cộng có công sai d và số hạng đầu $u_1$. Hãy chọn khẳng định sai?

Cho số phức $z=a+bi; a,b\in \mathrm{ℝ}$. Phần thực của số phức $z^2$ là:

Tìm phần ảo của số phức z biết $\overline{z}={\left(\sqrt{3}+i\right)}^2\left(\sqrt{3}-i\right)$ .

Cho đồ thị hàm số  $y=\frac{1}{3}{x}^4-2x^2-1$ có ba điểm cực trị là A, B, C. Biết M, N là hai điểm di động lần lượt thuộc các cạnh AB, AC sao cho diện tích tam giác ABC gấp ba lần diện tích tam giác AMN. Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MN là