Cho a > 0 và b > 0, chứng tỏ rằng: a+b1a+1b≥4

Ta có: a-b2 ≥ 0 ⇔ a2 + b2 – 2ab ≥ 0 ⇔ a2 + b2 – 2ab + 2ab ≥ 2ab ⇔ a2 + b2 ≥ 2abVì a ≥ 0, b ≥ 0 nên ab ≥ 0 ⇒ 1/ab ≥ 0 (a2 + b2).1/ab ≥ 2ab.1/ab ⇔ a/b + b/a ≥ 2 ⇔ 2 + a/b + b/a ≥ 2 + 2 ⇔ 2 + a/b + b/a ≥ 4 ⇔ 1 + 1 + a/b + b/a ≥ 4 ⇔ a/a + b/b + a/b + b/a ≥ 4 ⇔ a(1/a + 1/b ) + b(1/a + 1/b ) ≥ 4 ⇔ (a + b)(1/a + 1/b ) ≥ 4

Câu hỏi:

13/07/2024 2,114

Cho a > 0 và b > 0, chứng tỏ rằng: $(a + b) (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \geq 4$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải Sách Bài Tập Toán 8 Tập 2 !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: ${(a - b)}^{2}$ $\geq$ 0

⇔ $a^{2}$ + $b^{2}$ – 2ab $\geq$ 0

⇔ $a^{2}$ + $b^{2}$ – 2ab + 2ab $\geq$ 2ab

⇔ $a^{2}$ + $b^{2}$ $\geq$ 2ab

Vì a $\geq$ 0, b $\geq$ 0 nên ab $\geq$ 0 ⇒ 1/ab ≥ 0

( $a^{2}$ + $b^{2}$ ).1/ab $\geq$ 2ab.1/ab

⇔ a/b + b/a $\geq$ 2

⇔ 2 + a/b + b/a $\geq$ 2 + 2

⇔ 2 + a/b + b/a $\geq$ 4

⇔ 1 + 1 + a/b + b/a $\geq$ 4

⇔ a/a + b/b + a/b + b/a $\geq$ 4

⇔ a(1/a + 1/b ) + b(1/a + 1/b ) $\geq$ 4

⇔ (a + b)(1/a + 1/b ) $\geq$ 4

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi cuối kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

Dành cho bạn Hot

Vào phòng luyện đề →Luyện đề →

Lớp 8 Văn

2,914 người thi tuần này

6 câu Trắc nghiệm Nam quốc sơn hà Kết nối tri thức có đáp án

6 câu 4 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 8 Toán

1,590 người thi tuần này

Trắc nghiệm Đơn thức lớp 8 (có đáp án)

15 câu 22.6 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 8 Hóa học

42 người thi tuần này

Trắc nghiệm Hóa 8 Bài 43 (có đáp án): Pha chế dung dịch

10 câu 2.7 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 8 Tiếng Anh

985 người thi tuần này

Trắc nghiệm Tiếng Anh 8 Global Success Unit 4 Vocabulary and Grammar (có đáp án)

20 câu 2.6 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 8 Khoa học tự nhiên

203 người thi tuần này

Trắc nghiệm Hệ vận động ở người lớp 8 (có đáp án)

19 câu 1.8 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 8 Lịch sử

299 người thi tuần này

28 câu Trắc nghiệm Lịch sử 8 Bài 3 có đúng sai, trả lời ngắn (mới nhất)

28 câu 3.5 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 8 Địa lý

92 người thi tuần này

16 câu Trắc nghiệm Địa 8 Kết nối tri thức Bài 4 có đáp án

16 câu 4.7 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 8 Công nghệ

64 người thi tuần này

Đề cương ôn tập giữa kì 2 Công nghệ 8 (có đáp án)

40 câu 588 lượt thi Thi ngay →

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một người đi bộ quãng đường dài 18km trong khoảng thời gian không nhiều hơn 4 giờ. Lúc đầu người đó đi với vận tốc 5km/h, về sau đi với vận tốc 4km/h. Xác định độ dài đoạn đường mà người đó đã đi với vận tốc 5km/h.

Xem đáp án

Lời giải

Gọi x (km) là đoạn đường người đó đi với vận tốc 5km/h. ĐK: x < 18.

Khi đó đoạn đường người đó đi với vận tốc 4km/h là 18 – x(km)

Thời gian đi với vận tốc 5km/h là x/5 giờ

Thời gian đi với vận tốc 4km/h là (18 - x)/4 giờ.

Vì thời gian đi hết đoạn đường không quá 4 giờ nên ta có bất phương trình: x/5 + (18 - x)/4 ≤ 4.

Ta có: x/5 + (18 - x)/4 ≤ 4

⇔ x/5 .20 + (18 - x)/4 .20 ≤ 4.20

⇔ 4x + 90 – 5x ≤ 80

⇔ 4x – 5x ≤ 80 – 90

⇔ -x ≤ -10

⇔ x ≥ 10

Vậy đoạn đường đi với vận tốc 5km/h ít nhất là 10km.

Câu 2

Với giá trị nào của x thì: $\frac{x - 2}{x - 3} > 0 ?$

Xem đáp án

Lời giải

Trường hợp 1: x – 2 > 0 và x – 3 > 0

Ta có: x – 2 > 0 ⇔ x > 2

x – 3 > 0 ⇔ x > 3

Suy ra: x > 3

Trường hợp 2: x – 2 < 0 và x – 3 < 0

Ta có: x – 2 < 0 ⇔ x < 2

x – 3 < 0 ⇔ x < 3

Suy ra: x < 2

Vậy với x > 3 hoặc x < 2 thì $\frac{x - 2}{x - 3} > 0 ?$

Câu 3