Hình thang cân ABCD (AB//CD) có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BD và AC. Cho biết MD = 3MO, đáy lớn CD = 5,6cm. Tính độ dài đoạn thẳng MN và đáy nhỏ AB.

Vì ABCD là hình thang cân có AB // CD nên:

AC = BD (1)

Xét ΔADC và ΔBCD, ta có:

AC = BD (chứng minh trên)

AD = BC (ABCD cân)

CD cạnh chung

Suy ra: $△$ADC = $△$BCD (c.c.c)

Suy ra : $\angle$(ACD) =$\angle$( BDC)

Hay $\angle$(OCD) = $\angle$( ODC)

Suy ra tam giác OCD cân tại O

Suy ra: OD = OC (tính chất tam giác cân) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: OA = OB

Ta có: 

Mà OA = OB ⇒ OM = ON

Lại có: MD = 3MO (gt) ⇒ NC = 3NO

Trong ΔOCD, ta có: 

Suy ra: MN // CD (Định lí đảo của định lí Ta-lét)

Ta có: OD = OM + MD = OM + 3OM = 4OM

Trong ΔOCD, ta có: MN // CD

Suy ra:  Hệ quả định lí Ta-lét)

Suy ra: 

Suy ra: MN = 1/4 CD = 1/4 .5,6 = 1,4 (cm)

Ta có: MB = MD (gt)

Suy ra: MB = 3OM hay OB = 2OM

Lại có: AB // CD (gt) suy ra: MN // AB

Ta có: MN // AB, áp dụng hệ quả định lý Ta – let ta được:

 (Hệ quả định lí Ta-lét)

Suy ra: 

Vậy: AB = 2MN = 2.1,4 = 2,8(cm)