Câu hỏi:

13/07/2024 2,142

Cho ngũ giác đều ABCDE. Gọi M, N, P, Q,, R tương ứng là trung điểm của các cạnh BC, CD, DE, EA, AB. Chứng minh MNPQR là ngũ giác đều.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải Sách Bài Tập Toán 8 Tập 1 !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Giải sách bài tập Toán 8 | Giải bài tập Sách bài tập Toán 8

Xét $△$ ABC và $△$ BCD:

AB = BC (gt)

$∠$ B = $∠$ C (gt)

BC = CD (gt)

Do đó: $△$ ABC = $△$ BCD (c.g.c)

⇒ AC = BD (1)

Xét $△$ BCD và $△$ CDE:

BC = CD (gt)

$∠$ C = $∠$ D (gt)

CD = DE (gt)

Do đó: $△$ BCD = $△$ CDE (c.g.c) ⇒ BD = CE (2)

Xét $△$ CDE và $△$ DEA:

CD = DE (gt)

$∠$ D = $∠$ E (gt)

DE = EA (gt)

Do đó: $△$ CDE = $△$ DEA (c.g.c) ⇒ CE = DA (3)

Xét $△$ DEA và $△$ EAB:

DE = EA (gt)

$∠$ E = $∠$ A (gt)

EA = AB (gt)

Do đó: $△$ DEA = $△$ EAB (c.g.c) ⇒ DA = EB (4)

Từ (1), (2), (3), (4) suy ra: AC = BD = CE = DA = EB

Trong $△$ ABC ta có RM là đường trung bình

⇒ RM = 1/2 AC (tính chất đường trung bình của tam giác)

Mặt khác, ta có: Trong Δ BCD ta có MN là đường trung bình

⇒ MN = 1/2 BD (tính chất đường trung bình của tam giác)

Trong $△$ CDE ta có NP là đường trung bình

⇒ NP = 1/2 CE (tính chất đường trung bình của tam giác)

Trong $△$ DEA ta có PQ là đường trung bình

⇒ PQ = 1/2 DA (tính chất đường trung bình của tam giác)

Trong $△$ EAB ta có QR là đường trung bình

⇒ QR = 1/2 EB (tính chất đường trung bình của tam giác)

Suy ra: MN = NP = PQ = QR = RM

Ta có: $∠$ A = $∠$ B = $∠$ C = $∠$ D = $∠$ E = ((5-2 ). $180^{0}$ )/5 = $108^{0}$

$△$ DPN cân tại D

⇒ $∠$ (DPN) = $∠$ (DNP) = ( $180^{0}$ - $∠$ D )/2 = ( $180^{0}$ - $108^{0}$ )/2 = $36^{0}$

$△$ CNM cân tại C

⇒ $∠$ (CNM) = $∠$ (CMN) = ( $180^{0}$ - $∠$ D )/2 = ( $180^{0}$ - $108^{0}$ )/2 = $36^{0}$

$∠$ (ADN) + $∠$ (PNM) + $∠$ (CNM) = $180^{0}$

⇒ $∠$ (PNM) = $180^{0}$ - ( $∠$ (ADN) + $∠$ (CNM) )

= $180^{0}$ - ( $36^{0}$ – $36^{0}$ ) = $108^{0}$

$△$ BMR cân tại B

⇒ $∠$ (BMR) = $∠$ (BRM) = ( $180^{0}$ - $∠$ B )/2 = ( $180^{0}$ - $108^{0}$ )/2 = $36^{0}$

$∠$ (CMN) + $∠$ (BRM) + $∠$ (BMR) = $180^{0}$

⇒ $∠$ (NMR) = $180^{0}$ - ( $∠$ (CMN) + $∠$ (BMR) )

= $180^{0}$ - ( $36^{0}$ – $36^{0}$ ) = $108^{0}$

$△$ ARQ cân tại A

⇒ $∠$ (ARQ) = $∠$ (AQR) = ( $180^{0}$ - $∠$ A )/2 = ( $180^{0}$ - $108^{0}$ )/2 = $36^{0}$

$∠$ (BRM) + $∠$ (MRQ) + $∠$ (ARQ) = $180^{0}$

⇒ $∠$ (MRQ) = $180^{0}$ - ( $∠$ (BRM) + $∠$ (ARQ) )

= $180^{0}$ - ( $36^{0}$ – $36^{0}$ ) = $108^{0}$

$△$ QEP cân tại E

⇒ $∠$ (EQP) = $∠$ (EPQ) = ( $180^{0}$ - $∠$ E )/2 = ( $180^{0}$ - $108^{0}$ )/2 = $36^{0}$

$∠$ (AQR) + $∠$ (RQP) + $∠$ (EQP) = $180^{0}$

⇒ $∠$ (RQP) = $180^{0}$ - ( $∠$ (AQR) + $∠$ (EQP) )

= $180^{0}$ - ( $36^{0}$ – $36^{0}$ ) = $108^{0}$

$∠$ (EQP) + $∠$ (QPN) + $∠$ (DPN) = $180^{0}$

⇒ $∠$ (QPN) = $180^{0}$ - ( $∠$ (EPQ) + $∠$ (DPN) )

= $180^{0}$ - ( $36^{0}$ – $36^{0}$ ) = $108^{0}$

Suy ra : $∠$ (PNM) = $∠$ (NMR) = $∠$ (MRQ) = $∠$ (RQP) = $∠$ (QPN)

Vậy MNPQR là ngũ giác đều.

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Vẽ hình và tính số đường chéo của ngũ giác, lục giác

Xem đáp án

Lời giải

Từ mỗi đỉnh của ngũ giác vẽ được 2 đường chéo. Ngũ giác có 5 đỉnh ta kẻ được 5.2=10 đường chéo, trong đó mỗi đường chéo được tính hai lần. Vậy ngũ giác có tất cả 5 đường chéo.

Từ mỗi đỉnh của lục giác vẽ được 3 đường chéo. Lục giác có 6 đỉnh ta kẻ được 6.3 = 18 đường chéo, trong đó mỗi đường chéo được tính hai lần. Vậy lục giác có tất cả 9 đường chéo.

Giải sách bài tập Toán 8 | Giải bài tập Sách bài tập Toán 8

Câu 2

Tính số đo của hình 8 cạnh đều, 10 cạnh đều, 12 cạnh đều.

Xem đáp án

Lời giải

Công thức tính số đo mỗi góc của đa giác đều có n cạnh: Giải sách bài tập Toán 8 | Giải bài tập Sách bài tập Toán 8

- Đa giác đều 8 cạnh ⇒ n = 8, số đo mỗi góc là: ((8 – 2). $180^{0}$ ) / 8 = $135^{0}$

- Đa giác đều 10 cạnh ⇒ n = 10, số đo mỗi góc là: ((10 – 2). $180^{0}$ ) / 10 = $144^{0}$

- Đa giác đều 12 cạnh ⇒ n = 12, số đo mỗi góc là: ((12 – 2). $180^{0}$ ) / 12 = $150^{0}$

Câu 3