Cho ngũ giác đều ABCDE. Gọi M, N, P, Q,, R tương ứng là trung điểm của các cạnh BC, CD, DE, EA, AB. Chứng minh MNPQR là ngũ giác đều.

Xét $△$ ABC và $△$ BCD:

AB = BC (gt)

$\angle$B = $\angle$C (gt)

BC = CD (gt)

Do đó: $△$ ABC = $△$ BCD (c.g.c)

⇒ AC = BD (1)

Xét $△$ BCD và $△$ CDE:

BC = CD (gt)

$\angle$C = $\angle$D (gt)

CD = DE (gt)

Do đó: $△$ BCD = $△$ CDE (c.g.c) ⇒ BD = CE (2)

Xét $△$ CDE và $△$ DEA:

CD = DE (gt)

$\angle$D = $\angle$E (gt)

DE = EA (gt)

Do đó: $△$ CDE = $△$ DEA (c.g.c) ⇒ CE = DA (3)

Xét $△$ DEA và $△$ EAB:

DE = EA (gt)

$\angle$E = $\angle$A (gt)

EA = AB (gt)

Do đó: $△$ DEA = $△$ EAB (c.g.c) ⇒ DA = EB (4)

Từ (1), (2), (3), (4) suy ra: AC = BD = CE = DA = EB

Trong $△$ ABC ta có RM là đường trung bình

⇒ RM = 1/2 AC (tính chất đường trung bình của tam giác)

Mặt khác, ta có: Trong Δ BCD ta có MN là đường trung bình

⇒ MN = 1/2 BD (tính chất đường trung bình của tam giác)

Trong $△$ CDE ta có NP là đường trung bình

⇒ NP = 1/2 CE (tính chất đường trung bình của tam giác)

Trong $△$ DEA ta có PQ là đường trung bình

⇒ PQ = 1/2 DA (tính chất đường trung bình của tam giác)

Trong $△$ EAB ta có QR là đường trung bình

⇒ QR = 1/2 EB (tính chất đường trung bình của tam giác)

Suy ra: MN = NP = PQ = QR = RM

Ta có: $\angle$A = $\angle$B = $\angle$C = $\angle$D = $\angle$E = ((5-2 ).${180}^0$)/5 = ${108}^0$

$△$ DPN cân tại D

⇒ $\angle$(DPN) = $\angle$(DNP) = (${180}^0$- $\angle$D )/2 = (${180}^0$ - ${108}^0$)/2 = ${36}^0$

$△$ CNM cân tại C

⇒ $\angle$(CNM) = $\angle$(CMN) = (${180}^0$- $\angle$D )/2 = (${180}^0$ - ${108}^0$)/2 = ${36}^0$

$\angle$(ADN) + $\angle$(PNM) + $\angle$(CNM) = ${180}^0$

⇒ $\angle$(PNM) = ${180}^0$ - ($\angle$(ADN) + $\angle$(CNM) )

            =${180}^0$ - (${36}^0$ – ${36}^0$) = ${108}^0$

$△$ BMR cân tại B

⇒ $\angle$(BMR) = $\angle$(BRM) = (${180}^0$- $\angle$B )/2 = (${180}^0$ - ${108}^0$)/2 = ${36}^0$

$\angle$(CMN) + $\angle$(BRM) + $\angle$(BMR) = ${180}^0$

⇒ $\angle$(NMR) = ${180}^0$ - ($\angle$(CMN) + $\angle$(BMR) )

            = ${180}^0$ - (${36}^0$ – ${36}^0$) = ${108}^0$

$△$ ARQ cân tại A

⇒ $\angle$(ARQ) = $\angle$(AQR) = (${180}^0$- $\angle$A )/2 = (${180}^0$ - ${108}^0$)/2 = ${36}^0$

$\angle$(BRM) + $\angle$(MRQ) + $\angle$(ARQ) = ${180}^0$

⇒ $\angle$(MRQ) = ${180}^0$ - ($\angle$(BRM) + $\angle$(ARQ) )

            =${180}^0$ - (${36}^0$ – ${36}^0$) = ${108}^0$

$△$ QEP cân tại E

⇒ $\angle$(EQP) = $\angle$(EPQ) = (${180}^0$- $\angle$E )/2 = (${180}^0$ - ${108}^0$)/2 = ${36}^0$

$\angle$(AQR) + $\angle$(RQP) + $\angle$(EQP) = ${180}^0$

⇒ $\angle$(RQP) = ${180}^0$ - ($\angle$(AQR) + $\angle$(EQP) )

            = ${180}^0$ - (${36}^0$ – ${36}^0$) = ${108}^0$

$\angle$(EQP) + $\angle$(QPN) + $\angle$(DPN) = ${180}^0$

⇒ $\angle$(QPN) = ${180}^0$ - ($\angle$(EPQ) + $\angle$(DPN) )

            = ${180}^0$ - (${36}^0$ – ${36}^0$) = ${108}^0$

Suy ra : $\angle$(PNM) = $\angle$(NMR) = $\angle$(MRQ) = $\angle$(RQP) = $\angle$(QPN)

Vậy MNPQR là ngũ giác đều.