Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và B'C'. Mặt phẳng (A'MN) cắt cạnh BC tại P. Tính thể tích của khối đa diện MBPA'B'N.

Đạo hàm của hàm số $y=x+{\ln }^{2}x$ là

Tập nghiệm S của bất phương trình $5^{x+2}<{\left(\frac{1}{25}\right)}^{-x}$ là

Tính diện tích S của miền hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+c$, các đường thẳng $x=-1,x=2$ và trục hoành (miền gạch chéo cho trong hình vẽ).

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng đi qua M(1;4;3) và vuông góc với trục Oy có phương trình là

Khi xây dựng nhà, chủ nhà cần làm một bể nước (không nắp) bằng gạch có dạng hình hộp có đáy là hình chữ nhật chiều dài $d\left(m\right)$ và chiều rộng $r\left(m\right)$ với $d=2r$ . Chiều cao bể nước là $h\left(m\right)$ và thể tích bể là $2\left(m^3\right)$. Hỏi chiều cao bể nước bằng bao nhiêu thì chi phí xây dựng là thấp nhất?

Gọi d là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị hàm số $y=\frac{2}{3}{x}^3-4x^2+9x-11$. Hỏi đường thẳng d đi qua điểm nào dưới đây?

Cho ${\log }_{5}2=m,{\log }_{3}5=n$. Tính $A={\log }_{25}2000+{\log }_{9}675$ theo $m,n$.