Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Gọi D là trung điểm của AM, E là giao điểm của BD và AC. Chứng minh AE =  $\frac{1}{2}$EC

Trong $∆$ABC ta có: E là trung điểm của cạnh AB

D là trung điểm của cạnh AC

Nên ED là đường trung bình của $∆$ABC

⇒ ED // BC và ED = 1/2 BC

(tính chất đường trung bình của tam giác)

+) Tứ giác BCDE có ED // BC nên BCDE là hình thang.

Trong hình thang BCDE, ta có: BC // DE

M là trung điểm cạnh bên BE

N là trung điểm cạnh bên CD

Nên MN là đường trung hình hình thang BCDE ⇒ MN // DE

(tính chất đường trung bình hình thang)

Trong $∆$BED, ta có: M là trung điểm BE

MI // DE

Suy ra: MI là đường trung bình của $∆$BED

⇒ MI = 1/2 DE = 1/4 BC (tính chất đường trung bình của tam giác)

Trong $∆$CED ta có: N là trung điểm CD

NK // DE

Suy ra: NK là đường trung bình của $∆$CED

⇒ NK = 1/2 DE = 1/4 BC (tính chất đường trung bình của tam giác)

IK = MN – (MI + NK) = 3/4 BC – (1/4 BC + 1/4 BC) = 1/4 BC

⇒ MI = IK = KN = 1/4 BC

Gọi E là trung điểm của DC

Trong ΔBDC, ta có:

M là trung điểm của BC (gt)

E là trung điểm của CD (gt)

Nên ME là đường trung bình của $∆$BCD

⇒ME // BD (tính chất đường trung bình tam giác)

Ta có: AD = $\frac{1}{2}$DC (gt)

DE = $\frac{1}{2}$DC (cách vẽ)

⇒ AD = DE. Do đó D là trung điểm của AE

Xét ∆AEM, có:

D là trung điểm của AE

DI//ME

⇒ I là trung điểm của AM hay AI = IM.