Hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3-x^2+x+1$ có mấy điểm cực trị?

Đáp án A

Phương pháp: Quy tác tìm cực trị của hàm số y = f(x) ta có 2 quy tắc sau:

Quy tắc 1: Áp dụng định lý 2:

Bước 1: Tìm $f\text{'}\left(x\right)$

Bước 2: Giải phương trình $f\text{'}\left(x\right)=0$ tìm các nghiệm $x_1,x_2,x_3\mathrm{...}$ và những điểm tại đó đạo hàm không xác định.

Bước 3: Lập bảng biến thiên xét dấu của $f\text{'}\left(x\right)=0$. Nếu $f\text{'}\left(x\right)=0$ đổi dấu khi x qua điểm $x_i$ thì hàm số đạt cực trị tại điểm

Quy tắc 2: Áp dụng định lý 3

Bước 1: Tìm $f\text{'}\left(x\right)$

Bước 2: Giải phương trình $f\text{'}\left(x\right)=0$ tìm các nghiệm $x_1,x_2,x_3\mathrm{...}$ 

Bước 3: Tính $f\text{'}\text{'}\left(x\right)$. Với mỗi nghiệm $x_i\left(i=1,2,3\right)$ ta xét:

+) Nếu $f\text{'}\text{'}\left(x\right)<0$ thì hàm số đạt cực đại tại điểm $x_i$

+) Nếu $f\text{'}\text{'}\left(x\right) >0$ thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x_i$

Cách giải: Thực hiện tìm cực trị theo quy tắc 2:

$$\begin{gathered} y=\frac{1}{3}{x}^3-x^2+x+1\Rightarrow y\text{'}=x^2-2x+1; \\ y\text{'}=0\iff {\left(x-1\right)}^2=0\iff x=1; \end{gathered}$$

$y\text{'}\text{'}=2x-2\Rightarrow y\text{'}\text{'}\left(1\right)=0$

Vậy hàm số đã cho không có cực trị

Sai lầm và chú ý: Nếu $f\text{'}\text{'}\left(x_i\right)=0$thì hàm số không đạt cực trị tại điểm $x_i$