Trong các cặp hình phẳng giới hạn bởi các đường sau, cặp nào có diện tích bằng nhau?

a) {y = x + sinx, y = x với 0 ≤ x ≤ π} và {y = x + sinx, y = x với π ≤ x ≤ 2π}

b) {y = sinx, y = 0 với 0 ≤ x ≤ π} và {y = cosx, y = 0 với 0 ≤ x ≤ π};

c) {y = √x, y = $x^2$}

và {  , y = 1 − x}

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

a) y = 2x – $x^2$, x + y = 2 ;

b) y = $x^3$ – 12x, y = $x^2$

c) x + y = 1, x + y = -1, x – y = 1, x – y = -1;

d) 

e) y = $x^3$ – 1 và tiếp tuyến với y = $x^3$ – 1 tại điểm (-1; -2).

Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường: y = f(x), y = 0, x = b và x = a (trong đó hàm số f(x) liên tục trên đoạn [b,a]). Thể tích khối tròn xoay tạo nên bởi phép quay H quanh trục Ox được cho bởi công thức:

Tính thể tích vật thể:

a) Có đáy là một tam giác cho bởi: y = x , y = 0 , và x = 1. Mỗi thiết diện vuông góc với trục Ox là một hình vuông.

b) Có đáy là một hình tròn giới hạn bởi $x^2$ + $y^2$ = 1. Mỗi thiết diện vuông góc với trục Ox là một hình vuông.

Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi phép quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường  , y = 0, x = 1 và x = a (a > 1). Gọi thể tích đó là V(a). Xác định thể tích của vật thể khi a → +$\infty$ (tức là  ).

Tính thể tích các khối tròn xoay khi quay hình phẳng xác định bởi:

a) y = 2 – $x^2$ , y = 1 , quanh trục Ox.

b) y = 2x – $x^2$ , y = x , quanh trục Ox.

c)  ,x = 0, y = 3, quanh trục Oy.

Một hình phẳng được giới hạn bởi y = $e^{-x}$, y = 0, x = 0, x = 1. Ta chia đoạn [0; 1] thành n phần bằng nhau tạo thành một hình bậc thang (bởi n hình chữ nhật con như Hình bên).

a) Tính diện tích Sn của hình bậc thang (tổng diện tích của n hình chữ nhật con).

b) Tìm  và so sánh với cách tính diện tích hình phẳng này bằng công thức tích phân.

Quay hình phẳng Q giới hạn bởi các đường: $y_1$ = sinx và $y_2$ = 2x/π quanh trục Ox, ta được một khối tròn xoay. Khi đó, thể tích khối tròn xoay này bằng:

A. 1/6              B. π/6

C. 8              D. ${\mathrm{\pi }}^2$/6