Trong các cặp hình phẳng giới hạn bởi các đường sau, cặp nào có diện tích bằng nhau?

a) {y = x + sinx, y = x với 0 ≤ x ≤ π} và {y = x + sinx, y = x với π ≤ x ≤ 2π}

b) {y = sinx, y = 0 với 0 ≤ x ≤ π} và {y = cosx, y = 0 với 0 ≤ x ≤ π};

c) {y = √x, y = $x^2$}

và {  , y = 1 − x}

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

a) y = 2x – $x^2$, x + y = 2 ;

b) y = $x^3$ – 12x, y = $x^2$

c) x + y = 1, x + y = -1, x – y = 1, x – y = -1;

d) 

e) y = $x^3$ – 1 và tiếp tuyến với y = $x^3$ – 1 tại điểm (-1; -2).

Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường: y = f(x), y = 0, x = b và x = a (trong đó hàm số f(x) liên tục trên đoạn [b,a]). Thể tích khối tròn xoay tạo nên bởi phép quay H quanh trục Ox được cho bởi công thức:

Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi phép quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường  , y = 0, x = 1 và x = a (a > 1). Gọi thể tích đó là V(a). Xác định thể tích của vật thể khi a → +$\infty$ (tức là  ).

Tính thể tích các khối tròn xoay khi quay hình phẳng xác định bởi:

a) y = 2 – $x^2$ , y = 1 , quanh trục Ox.

b) y = 2x – $x^2$ , y = x , quanh trục Ox.

c)  ,x = 0, y = 3, quanh trục Oy.

Tính thể tích vật thể:

a) Có đáy là một tam giác cho bởi: y = x , y = 0 , và x = 1. Mỗi thiết diện vuông góc với trục Ox là một hình vuông.

b) Có đáy là một hình tròn giới hạn bởi $x^2$ + $y^2$ = 1. Mỗi thiết diện vuông góc với trục Ox là một hình vuông.

Một hình phẳng được giới hạn bởi y = $e^{-x}$, y = 0, x = 0, x = 1. Ta chia đoạn [0; 1] thành n phần bằng nhau tạo thành một hình bậc thang (bởi n hình chữ nhật con như Hình bên).

a) Tính diện tích Sn của hình bậc thang (tổng diện tích của n hình chữ nhật con).

b) Tìm  và so sánh với cách tính diện tích hình phẳng này bằng công thức tích phân.

Quay hình phẳng Q giới hạn bởi các đường: $y_1$ = sinx và $y_2$ = 2x/π quanh trục Ox, ta được một khối tròn xoay. Khi đó, thể tích khối tròn xoay này bằng:

A. 1/6              B. π/6

C. 8              D. ${\mathrm{\pi }}^2$/6