Cho z là một số phức tùy ý. Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. z $\in$ R $\iff$z = $\overline{\mathrm{z}}$

B. z là thuần ảo $\iff$ z + $\overline{\mathrm{z}}$ = 0

C. $\frac{\mathrm{z}}{\overline{\mathrm{z}}}=-\frac{\overline{\mathrm{z}}}{z}\in R \left(z\ne 0\right)$

D. ${\mathrm{z}}^3+{\left(\overline{\mathrm{z}}\right)}^3\in \mathrm{R}$

Ta có z$\overline{\mathrm{z}}={\left|\mathrm{z}\right|}^2$ nên từ $\overline{\mathrm{z}}=z^3$ ⇒ ${\left|\mathrm{z}\right|}^2={\mathrm{z}}^4$

Đặt z = a+ bi , suy ra:

${\mathrm{a}}^4+{\mathrm{b}}^4-6{\mathrm{a}}^2{\mathrm{b}}^2+4\mathrm{ab}\left({\mathrm{a}}^2-{\mathrm{b}}^2\right)\mathrm{i}={\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2$ (∗)

Do đó, ta có: 4ab(${\mathrm{a}}^2$-${\mathrm{b}}^2$) = 0 (∗∗)

Từ (∗∗) suy ra các trường hợp sau:

     +) a = b = 0 ⇒ z = 0

     +) a = 0, b$\ne$ 0: Thay vào (∗), ta có ${\mathrm{b}}^4$ = ${\mathrm{b}}^2$ ⇒ b = 1 hoặc b = -1 ⇒ z = i hoặc z = -1

     +) b = 0, a $\ne$ 0: Tương tự, ta có a = 1 hoặc a = -1 ⇒ z = 1 hoặc z = -1

     +) a $\ne$ 0, b $\ne$ 0 ⇒ ${\mathrm{a}}^2$ − ${\mathrm{b}}^2$ = 0⇒ ${\mathrm{a}}^2$ = ${\mathrm{b}}^2$, thay vào (∗) , ta có:

2${\mathrm{a}}^2$(2${\mathrm{a}}^2$ + 1) = 0, không có a nào thỏa mãn (vì a $\ne$ 0 )

Hiển nhiên nếu z $\in$ R, z $\ne$ −1 thì 

Ngược lại, nếu 

thì z – 1 = az + a và a $\ne$ 1

Suy ra (1 − a)z = a + 1

và hiển nhiên z $\ne$ −1.