Cho tứ diện SABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và có SA = a, AB = b , AC = c . Xác định tâm và bán kính hình cầu ngoại tiếp tứ diện trong các trường hợp sau: $\angle$BAC = 120$°$ và b = c

Giả sử ta có mặt cầu tâm I đi qua các đỉnh S, A, B, C của hình chóp. Mặt phẳng (ABC) cắt mặt cầu ngoại tiếp hình chóp theo giao tuyến là đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC. Vì SA = SB = SC nên ta có SO $\perp$ (ABC) và OS là trục của đường tròn tâm O. Do đó SO $\perp$ AO. Trong tam giác SAO, đường trung trực của đoạn SA cắt SO tại I và ta được hai tam giác vuông đồng dạng là SIM và SAO, với M là trung điểm của cạnh SA.

Ta có 

với SI = IA = IB = IC = r

Vậy 

Do đó diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC đã cho là :

Gọi H trọng tâm của tam giác đều BCD.

Ta có AH $\perp$ (BCD). Do đó

Vậy

Mặt khác ${\mathrm{OC}}^2={\mathrm{OH}}^2+{\mathrm{HC}}^2$

hay OC = OB = OD = (a$\sqrt{2}$)/2

Vì BD = BC = CD = a nên các tam giác DOB, BOC, COD là những tam giác vuông cân tại O. Do đó hình chóp ODBC là hình chóp có đáy là tam giác đều nên tâm của mặt cầu ngoại tiếp phải nằm trên OH, ngoài ra tâm của mặt cầu ngoại tiếp này phải nằm trên trục của tam giác vuông DOB. Từ trung điểm C’ của cạnh BD ta vẽ đường thẳng song song với OC cắt đường thẳng OH tại I. Ta có I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OBCD. Mặt cầu này có bán kính là IC và ${\mathrm{IC}}^2={\mathrm{IH}}^2+{\mathrm{HC}}^2$

Chú ý rằng IH = OH/2 (vì HC′ = HC/2)

Do đó: