Cho lăng trụ tam giác đều $ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ có đáy là tam giác đều cạnh $a,AA\text{'}=2a$. Gọi $\alpha$ là góc giữa AB' và BC'. Tính $\cos \alpha$

Cho cấp số nhân $\left(u_n\right)$ thỏa mãn $\left\{\begin{array}{l}{u}_1+u_3=10\\ u_4+u_6=80\end{array}\right.$. Tìm $u_3$  

Họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=2x\left(1+3x^3\right)$ là

Cho hai hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3-\left(m+1\right)x^2+\left(3m^2+4m+5\right)x+2019$ và $g\left(x\right)=\left(m^2+2m+5\right)x^3-\left(2m^2+4m+9\right)x^2-3x+2$ (với m là tham số). Hỏi phương trình $g\left(f\left(x\right)\right)=0$ có bao nhiêu nghiệm?

Cho f(x), g(x) là các hàm số liên tục trên R thỏa mãn $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx=3,\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left[f\left(x\right)-3g\left(x\right)\right]dx=4 và \underset{0}{\overset{2}{\int }}\left[2f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx=8$. Tính $\underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx$

Đường thẳng y = m tiếp xúc với đồ thị $\left(C\right):y=-2x^4+4x^2-1$ tại hai điểm phân biệt $A\left(x_A;y_A\right) và B\left(x_B;y_B\right)$. Giá trị của biểu thức $y_A+y_B$.  

Trong hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $M\left(1;-1;2\right)$ và hai đường thẳng $d_1:\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=1-t\\ z=-1\end{array}\right., d_2:\frac{x+1}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+2}{1}$. Đường thẳng $∆$ đi qua M và cắt cả hai đường thẳng $d_1,d_2$ có véc tơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_{\Delta }}\left(1;a;b\right)$, tính a + b    

Cho số thực $a>0;a\ne 1$. Giá trị của ${\log }_{a^2}\left(\sqrt[7]{a^3}\right)$ bằng