Cho hình lập phương $\mathrm{ABCD}.\mathrm{A}\text{'}\mathrm{B}\text{'}\mathrm{C}\text{'}\mathrm{D}\text{'}$ có cạnh bằng a. Một đường thẳng d đi qua đỉnh D¢ và tâm I của mặt bên $\mathrm{BCC}\text{'}\mathrm{B}\text{'}.$ Hai điểm M, N thay đổi lần lượt thuộc các mặt phẳng $\left(\mathrm{BCC}\text{'}\mathrm{B}\text{'}\right)$ và $\left(\mathrm{ABCD}\right)$ sao cho trung điểm K của MN thuộc đường thẳng d (tham khảo hình vẽ). Giá trị bé nhất của độ dài đoạn thẳng MN là

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định và liên tục trên $ℝ\backslash \left\{0\right\}$ thỏa mãn: $x^2{f}^2\left(x\right)+\left(2x-1\right)f\left(x\right)=x.f\text{'}\left(x\right)-1$ với $\forall x\in ℝ\backslash \left\{0\right\}$ đồng thời $f\left(1\right)=-2.$ Tính $\underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx$ 

Trò chơi quay bánh xe số trong chương trình truyền hình "Hãy chọn giá đúng" của kênh VTV3 Đài truyền hình Việt Nam, bánh xe số có 20 nấc điểm: 5, 10, 15,....., 100 với vạch chia đều nhau và giả sử rằng khả năng chuyển từ nấc điểm đã có tới các nấc điểm còn lại là như nhau.

Trong mỗi lượt chơi có 2 người tham gia, mỗi người được quyền chọn quay 1 hoặc 2 lần, và điểm số của người chơi được tính như sau:

+ Nếu người chơi chọn quay 1 lần thì điểm của người chơi là điểm quay được.

+ Nếu người chơi chọn quay 2 lần và tổng điểm quay được không lớn hơn 100 thì điểm của người chơi là tổng điểm quay được.

+ Nếu người chơi chọn quay 2 lần và tổng điểm quay được lớn hơn 100 thì điểm của người chơi là tổng điểm quay được trừ đi 100.

Luật chơi quy định, trong mỗi lượt chơi người nào có điểm số cao hơn sẽ thắng cuộc, hòa nhau sẽ chơi lại lượt khác.

An và Bình cùng tham gia một lượt chơi, An chơi trước và có điểm số là 75. Tính xác suất để Bình thắng cuộc ngay ở lượt chơi này.

Gọi S là tập các giá trị dương của tham số m sao cho hàm số $y=x^3-3m.x^2+9x-m$  đạt cực trị tại $x_1,x_2$ thỏa mãn $\left|x_1-x_2\right|\le 2.$ Biết $S=\left(a;b\right].$ Tính $T=b-a$ 

Cho hai hàm số f(x) , g(x) đều có đạo hàm trên $\mathrm{ℝ}$ và thỏa mãn: $f^3\left(2-x\right)-2f^2\left(2+3x\right)+x^2.g\left(x\right)+$$36x=0\forall x\in ℝ.$ Tính $A=3f\left(2\right)+4f\text{'}\left(2\right)$ 

Hàm số nào dưới đây có đồ thị như hình vẽ?

Số nghiệm thực của phương trình $2^{\sqrt{x}}=2^{2-x}$ là