Cho hàm $y=\frac{x^2=mx+2}{x-1}$. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của $m\in \left[0;2019\right]$ thỏa mãn hàm số đồng biến trên các khoảng $\left(-\infty ;1\right)$, $\left(1;+\infty \right)$ biết m

Giao điểm của hai đường tiệm cận là I ( -1;2 )

$y=\frac{2x-1}{x+1}$ $\Rightarrow y\text{'}=\frac{3}{{\left(x+1\right)}^2} \Rightarrow$PTTT tại $M\left(x_0,y_0\right)$ là

$\left(d\right) y=\frac{3}{{\left(x_0+1\right)}^2}\left(x-x_0\right)+\frac{2x_0-1}{x_0+1}$

Giao của (d) với TCD x = -1 là $A\left(-1;\frac{2x_0-4}{x_0-1}\right)$, Giao của (d) với TCD $B\left(2x_0+1;2\right)$

$A{B}^2+I{B}^2=40$ $\iff {\left(2-\frac{2x_0-4}{x_0-1}\right)}^2+{\left(-2x_0-2\right)}^2=40$

$\iff \frac{36}{{\left(x_0+1\right)}^2}+4{\left(x_0+1\right)}^2=40$

$$\begin{gathered} {\left(x_0+1\right)}^4-10{\left(x_0+1\right)}^2+9=0 \\ \iff \left\{\begin{array}{l}{\left(x_0+1\right)}^2=1\\ {\left(x_0+1\right)}^2=9\end{array}\right. \\ \Rightarrow x_0=2\left(x_0>0\right)\Rightarrow y_0=-1 \\ \Rightarrow x_0{y}_0=2 \end{gathered}$$

Đáp án cần chọn là D

$∆$ giao với $d_1: \left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=1-t\\ z=2-t\end{array}\right.$

là A ( 2 + t; 1 - t; 2 - t )

với $d_2\left\{\begin{array}{l}x=3+t\text{'}\\ y=2+t\text{'}\\ z=5\end{array}\right.$

là B ( 3 + t'; 2 + t'; 5 )

Khi đó AB ( 1 + t' - t; 1 + t' + t; 3 + t )

Ta có:

 $$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AB}\perp u_1\left(1;-1;-1\right)\\ \overrightarrow{AB}\perp u_2\left(1;1;0\right)\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}1+t\text{'}-t-1-t\text{'}-t-3-t=0\\ 1+t\text{'}-t+1+t\text{'}+t=0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}t=-1\\ t\text{'}=-1\end{array}\right. \\ \Rightarrow A\left(1;2;3\right),\overrightarrow{AB}\left(1;-1;2\right) \end{gathered}$$

Vậy PT $∆$ là : $d_1:\left\{\begin{array}{l}x=1+t\text{'}\text{'}\\ y=2-t\text{'}\text{'}\\ z=3+2t\text{'}\text{'}\end{array}\right.$

Đáp án cần chọn là A