Cho hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} - (m^{2} - 2) x + m^{2}$ có đồ thị là đường cong $(C)$ . Biết rằng các số thực $m_{1}; m_{2}$ của tham số m để hai điểm cực trị của $(C)$ và giao điểm của $(C)$ với trục hoành tạo thành 4 đỉnh của hình chữ nhật. Tính $T = m_{1}^{4} + m_{2}^{4}$

A. $T = 22 - 12 \sqrt{2}$

B. $T = 11 - 6 \sqrt{2}$

C. $T = \frac{3 \sqrt{2} - 2}{2}$

D. $T = \frac{15 - 6 \sqrt{2}}{2}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Tổng hợp 25 đề luyện thi THPTQG môn Toán chọn lọc, cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án B

Ta có: $y' = 3 x^{2} - 6 x - m^{2} + 2$

Lấy $\frac{y}{y'}$ thì phần dư ta được PT đường thẳng qua các điểm cực trị là:

$y = \frac{2}{3} x (m^{2} + 1) + \frac{2 m^{2} + 2}{3}$

Phương trình hoành độ giao điểm là: $x^{3} - 3 x^{2} - (m^{2} - 2) x + m^{2} = 0 \begin{array}{l} \Leftrightarrow x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - m^{2} (x - 1) = 0 \\ \Leftrightarrow (x - 1) (x^{2} - 2 x - m^{2}) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ g (x) = x^{2} - 2 x - m^{2} = 0 \end{array} \end{array}$

Đk cắt tại 3 điểm phân biệt $\Leftrightarrow \{\begin{cases} Δ' = 1 + m^{2} > 0 \\ g' (1) = - 1 - m^{2} \neq 0 \end{cases}$

Khi đó $(C)$ cắt Ox tại 3 điểm $A (x_{1}; 0); B (1; 0); C (x_{2}; 0)$ , theo Viet ta có: $x_{1} + x_{2} = 2 = 2 x_{B}$

Gọi M và N là tọa độ 2 điểm cực trị thì B là trung điểm của MN (Do B là điểm uốn)

Để $A M C N$ là hình chữ nhật thì $A C = M N \Leftrightarrow |x_{1} - x_{2}| = \sqrt{{(x_{M} - x_{N})}^{2} + \frac{4}{9} {(m^{2} + 1)}^{2} {(x_{M} - x_{N})}^{2}}$

Trong đó $\begin{array}{l} \{\begin{cases} x_{M} + x_{N} = 2 \\ x_{M} x_{N} = \frac{2 - m^{2}}{3} \end{cases} \Rightarrow 4 + 4 m^{2} = (4 + \frac{4 m^{2} - 8}{3}) [\frac{4}{9} {(m^{2} + 1)}^{2} + 1] \\ \Leftrightarrow {(m^{2} + 1)}^{2} = \frac{9}{2} \end{array}$

$[\begin{array}{l} m^{2} = \frac{3}{\sqrt{2}} - 1 \\ m^{2} = - \frac{3}{\sqrt{2}} - 1 \end{array} \Leftrightarrow m = \pm \sqrt{\frac{3}{\sqrt{2}} - 1}$

Do đó $T = m_{1}^{4} + m_{2}^{4} = 11 - 6 \sqrt{2}$

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tính diện tích lớn nhất $S_{\max}$ của một hình chữ nhật nội tiếp trong nửa đường tròn bán kính $R = 6 c m$ nếu một cạnh của hình chữ nhật nằm dọc theo đường kính của hình tròn mà hình chữ nhật đó nội tiếp.

A. $S_{\max} = 36 π c m^{2}$

B. $S_{\max} = 36 c m^{2}$

C. $S_{\max} = 96 π c m^{2}$

D. $S_{\max} = 18 c m^{2}$

Lời giải

Đáp án B

Dựng hình như hình vẽ. Đặt $M N = 2 x \Rightarrow N P = \sqrt{R^{2} - x^{2}}$

Khi đó $S = 2 x . \sqrt{R^{2} - x^{2}} \leq R^{2} - x^{2} + x^{2} = R^{2}$

Vậy $S_{\max} = 36 c m^{2}$

Câu 2

Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình $5 \sin x - 12 \cos x = m$ có nghiệm?

A. 13

B. Vô số

C. 26

D. 27

Lời giải

Đáp án D

Để phương trình có nghiệm thì

$m^{2} \leq 5^{2} + {(- 12)}^{2} \Leftrightarrow m^{2} \leq 169 \Leftrightarrow - 13 \leq m \leq 13 \Rightarrow$ số các giá trị nguyên của m là $[13 - (- 13)] : 1 + 1 = 27$