Câu hỏi:

07/08/2020 727

Cho hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} - (m^{2} - 2) x + m^{2}$ có đồ thị là đường cong $(C)$ . Biết rằng các số thực $m_{1}; m_{2}$ của tham số m để hai điểm cực trị của $(C)$ và giao điểm của $(C)$ với trục hoành tạo thành 4 đỉnh của hình chữ nhật. Tính $T = m_{1}^{4} + m_{2}^{4}$

A. $T = 22 - 12 \sqrt{2}$

B. $T = 11 - 6 \sqrt{2}$

C. $T = \frac{3 \sqrt{2} - 2}{2}$

D. $T = \frac{15 - 6 \sqrt{2}}{2}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Tổng hợp 25 đề luyện thi THPTQG môn Toán chọn lọc, cực hay có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án B

Ta có: $y' = 3 x^{2} - 6 x - m^{2} + 2$

Lấy $\frac{y}{y'}$ thì phần dư ta được PT đường thẳng qua các điểm cực trị là:

$y = \frac{2}{3} x (m^{2} + 1) + \frac{2 m^{2} + 2}{3}$

Phương trình hoành độ giao điểm là: $x^{3} - 3 x^{2} - (m^{2} - 2) x + m^{2} = 0 \begin{array}{l} \Leftrightarrow x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - m^{2} (x - 1) = 0 \\ \Leftrightarrow (x - 1) (x^{2} - 2 x - m^{2}) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ g (x) = x^{2} - 2 x - m^{2} = 0 \end{array} \end{array}$

Đk cắt tại 3 điểm phân biệt $\Leftrightarrow \{\begin{cases} Δ' = 1 + m^{2} > 0 \\ g' (1) = - 1 - m^{2} \neq 0 \end{cases}$

Khi đó $(C)$ cắt Ox tại 3 điểm $A (x_{1}; 0); B (1; 0); C (x_{2}; 0)$ , theo Viet ta có: $x_{1} + x_{2} = 2 = 2 x_{B}$

Gọi M và N là tọa độ 2 điểm cực trị thì B là trung điểm của MN (Do B là điểm uốn)

Để $A M C N$ là hình chữ nhật thì $A C = M N \Leftrightarrow |x_{1} - x_{2}| = \sqrt{{(x_{M} - x_{N})}^{2} + \frac{4}{9} {(m^{2} + 1)}^{2} {(x_{M} - x_{N})}^{2}}$

Trong đó $\begin{array}{l} \{\begin{cases} x_{M} + x_{N} = 2 \\ x_{M} x_{N} = \frac{2 - m^{2}}{3} \end{cases} \Rightarrow 4 + 4 m^{2} = (4 + \frac{4 m^{2} - 8}{3}) [\frac{4}{9} {(m^{2} + 1)}^{2} + 1] \\ \Leftrightarrow {(m^{2} + 1)}^{2} = \frac{9}{2} \end{array}$

$[\begin{array}{l} m^{2} = \frac{3}{\sqrt{2}} - 1 \\ m^{2} = - \frac{3}{\sqrt{2}} - 1 \end{array} \Leftrightarrow m = \pm \sqrt{\frac{3}{\sqrt{2}} - 1}$

Do đó $T = m_{1}^{4} + m_{2}^{4} = 11 - 6 \sqrt{2}$

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tính diện tích lớn nhất $S_{\max}$ của một hình chữ nhật nội tiếp trong nửa đường tròn bán kính $R = 6 c m$ nếu một cạnh của hình chữ nhật nằm dọc theo đường kính của hình tròn mà hình chữ nhật đó nội tiếp.

A. $S_{\max} = 36 π c m^{2}$

B. $S_{\max} = 36 c m^{2}$

C. $S_{\max} = 96 π c m^{2}$

D. $S_{\max} = 18 c m^{2}$

Lời giải

Đáp án B

Dựng hình như hình vẽ. Đặt $M N = 2 x \Rightarrow N P = \sqrt{R^{2} - x^{2}}$

Khi đó $S = 2 x . \sqrt{R^{2} - x^{2}} \leq R^{2} - x^{2} + x^{2} = R^{2}$

Vậy $S_{\max} = 36 c m^{2}$

Câu 2

Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình $5 \sin x - 12 \cos x = m$ có nghiệm?

A. 13

B. Vô số

C. 26

D. 27

Lời giải

Đáp án D

Để phương trình có nghiệm thì

$m^{2} \leq 5^{2} + {(- 12)}^{2} \Leftrightarrow m^{2} \leq 169 \Leftrightarrow - 13 \leq m \leq 13 \Rightarrow$ số các giá trị nguyên của m là $[13 - (- 13)] : 1 + 1 = 27$

Câu 3

Người ta muốn thiết kế một bể cá theo dạng khối lăng trụ tứ giác đều, không có nắp trên, làm bằng kính, thể tích $8 m^{3} .$ Giá mỗi $m^{2}$ là 600.000 đồng. Gọi là số tiền kính tối thiểu phải trả. Giá trị t xấp xỉ với giá trị nào sau đây?

A. 11.400.000 đồng

B. 6.790.000 đồng

C. 4.800.000 đồng

D. 14.400.000 đồng

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{x^{2} - 4 x - 5}{x^{2} - 3 x + 2}$

A. 4

B. 1

C. 3

D. 2

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Tìm tất cả các nghiệm của phương trình $\tan x = m (m \in ℝ)$

A. $x = \arctan m + k π$ hoặc $x = π - \arctan m + k π, k \in ℤ$

B. $\pm x = \arctan m + k π, k \in ℤ$

C. $x = \arctan m + k 2 π, k \in ℤ$

D. $x = \arctan m + k π, k \in ℤ$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị là đường cong (C) và các giới hạn $\lim_{x \to 2^{+}} f (x) = 1, \lim_{x \to 2^{-}} f (x) = 1, \lim_{x \to - \infty} f (x) = 2, \lim_{x \to + \infty} f (x) = 2.$ Hỏi mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Đường thẳng $y = 2$ là tiệm cận ngang của (C)

B. Đường thẳng $y = 1$ là tiệm cận ngang của (C)

C. Đường thẳng $x = 2$ là tiệm cận ngang của (C)

D. Đường thẳng $x = 2$ là tiệm cận đứng của (C)

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Hàm số nào sau đây đồng biến trên $(- \infty; + \infty)$ ?

A. $y = {(\frac{e}{2})}^{x}$

B. $y = {(\sqrt{5} - 2)}^{x}$

C. $y = {(\frac{3}{π})}^{x}$

D. $y = {(0,7)}^{x}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Tính diện tích lớn nhất $S_{\max}$ của một hình chữ nhật nội tiếp trong nửa đường tròn bán kính $R = 6 c m$ nếu một cạnh của hình chữ nhật nằm dọc theo đường kính của hình tròn mà hình chữ nhật đó nội tiếp.

Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình $5 \sin x - 12 \cos x = m$ có nghiệm?

Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{x^{2} - 4 x - 5}{x^{2} - 3 x + 2}$

Tìm tất cả các nghiệm của phương trình $\tan x = m (m \in ℝ)$

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị là đường cong (C) và các giới hạn $\lim_{x \to 2^{+}} f (x) = 1, \lim_{x \to 2^{-}} f (x) = 1, \lim_{x \to - \infty} f (x) = 2, \lim_{x \to + \infty} f (x) = 2.$ Hỏi mệnh đề nào sau đây đúng?

Hàm số nào sau đây đồng biến trên $(- \infty; + \infty)$ ?