Một con quạ đang khát nước, nó tìm thấy một cái lọ có nước nhưng cổ lọ lại cao không thò mỏ vào uống được. Nó nghĩ ra một cách, nó gắp từng viên bi (hình cầu) bỏ vào trong lọ để nước dâng lên mà tha hồ uống. Hỏi con quạ cần bỏ vào lọ ít nhất bao nhiêu viên để có thể uống nước? Biết rằng mỗi viên bi có bán kính là 3/4 (đvđd) và không thấm nước, cái lọ có hình dáng là một khối tròn xoay với đường sinh là một hàm đa thức bậc ba, mực nước bạn đầu trong lọ ở vị trí mà mặt thoáng tạo thành hình tròn có bán kính lớn nhất R = 3, mực nước quạ có thể uống là vị trí mà hình tròn có bán kính nhỏ nhất r = 1 và khoảng cách giữa 2 mặt này bằng 2, được minh họa như hình vẽ sau:

Đáp án A

Phương pháp:

- Sử dụng phương pháp tọa độ hóa.

- Công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

Cho $∆$ có VTCP $\overrightarrow{u}$ và qua M; $∆$' có VTCP $\overrightarrow{v}$ và qua M’

Cách giải:

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ, trong đó:

A'(0;0;0), B'(0;a;0), C'(a;a;0), D'(a;0;0)

A(0;0;a), B(0;a;a), C(a;a;a); D(a;0;a), M(a/2;a;a)

Đường thẳng AM có VTCP  và qua A(0;0;a)

Đường thẳng DB’ có VTCP  và qua D(a;0;a)

$\overrightarrow{AD }=(a;0;0)$

Khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và DB’: 

Ta có:

Vây, khoảng cách giữa AM và DB’ là $\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{7}}$ 

Đáp án A

Phương pháp: Xác định đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau a và b trong không gian:

- Lấy hai vectơ $\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}$ lần lượt là các VTCP của đường thẳng a, b ($\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}$có cùng độ dài).

- Tìm giao điểm M của a và b.

- Phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng a và b là đường thẳng qua M và có VTCP là $\overrightarrow{u}+ \overrightarrow{v}$ hoặc $\overrightarrow{u}- \overrightarrow{v}$

Cách giải:

Tìm giao điểm M của $d_1, d_2$

Giải hệ phương trình 

$d_1$ có 1 VTCP là 

$d_2$ có 1 VTCP là 

Suy ra, đường phân giác góc nhọn tạo bởi 1 2 d d, có 1 VTCP là 

Phương trình đường phân giác cần tìm là $\frac{x-1}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{-3}$