Tìm số hạng đứng giữa trong khai triển ${\left(x^3+xy\right)}^{21}.$

Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có

${\left(x+\frac{1}{2x}\right)}^9=\sum _{k=0}^9{C}_9^k.x^{9-k}.{\left(\frac{1}{2x}\right)}^k=\sum _{k=0}^9{C}_9^k.{\left(\frac{1}{2}\right)}^k.x^{9-2k}.$

Hệ số của $x^3$ ứng với $9-2k=3\iff k=3$ 

Vậy số hạng cần tìm $\frac{1}{8}{C}_9^3{x}^3.$ 

Chọn đáp án B.

Ta có $2^{2n+1}={\left(1+1\right)}^{2n+1}=C_{2n+1}^0+C_{2n+1}^1+\mathrm{...}+C_{2n+1}^{2n+1}$.         (1)

Lại có $C_{2n+1}^0=C_{2n+1}^{2n+1}; C_{2n+1}^1=C_{2n+1}^{2n}; C_{2n+1}^2=C_{2n+1}^{2n-1};...; C_{2n+1}^n=C_{2n+1}^{n+1}$.  (2)

Từ (1) và (2), suy ra $C_{2n+1}^0+C_{2n+1}^1+\mathrm{...}+C_{2n+1}^n=\frac{2^{2n+1}}{2}$    

$\iff C_{2n+1}^1+\mathrm{...}+C_{2n+1}^n=\frac{2^{2n+1}}{2}-C_{2n+1}^0$

$$\begin{gathered} \iff C_{2n+1}^1+\mathrm{...}+C_{2n+1}^n=2^{2n}-1 \\ \iff 2^{20}-1=2^{2n}-1\iff n=10 \end{gathered}$$.

Vậy n =10 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn đáp án C.