Tìm số hạng chứa $x^3$ trong khai triển ${\left(x+\frac{1}{2x}\right)}^9.$

Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có

$$\begin{gathered} {\left(x^3+xy\right)}^{21}=\sum _{k=0}^{21}{C}_{21}^k.{\left(x^3\right)}^{21-k}.{\left(xy\right)}^k \\ =\sum _{k=0}^{21}{C}_{21}^k.x^{63-3k}.x^k.y^k=\sum _{k=0}^{21}{C}_{21}^k.x^{63-2k}.y^k. \end{gathered}$$

Suy ra khai triển ${\left(x^3+xy\right)}^{21}$ có 22 số hạng nên có hai số hạng đứng giữa là số hạng thứ 11 (ứng với k= 10) và số hạng thứ 12 (ứng với k =11).

Vậy hai số hạng đứng giữa cần tìm là $C_{21}^{10}{x}^{43}{y}^{10}; C_{21}^{11}{x}^{41}{y}^{11}$.

Chọn đáp án D.

Ta có $2^{2n+1}={\left(1+1\right)}^{2n+1}=C_{2n+1}^0+C_{2n+1}^1+\mathrm{...}+C_{2n+1}^{2n+1}$.         (1)

Lại có $C_{2n+1}^0=C_{2n+1}^{2n+1}; C_{2n+1}^1=C_{2n+1}^{2n}; C_{2n+1}^2=C_{2n+1}^{2n-1};...; C_{2n+1}^n=C_{2n+1}^{n+1}$.  (2)

Từ (1) và (2), suy ra $C_{2n+1}^0+C_{2n+1}^1+\mathrm{...}+C_{2n+1}^n=\frac{2^{2n+1}}{2}$    

$\iff C_{2n+1}^1+\mathrm{...}+C_{2n+1}^n=\frac{2^{2n+1}}{2}-C_{2n+1}^0$

$$\begin{gathered} \iff C_{2n+1}^1+\mathrm{...}+C_{2n+1}^n=2^{2n}-1 \\ \iff 2^{20}-1=2^{2n}-1\iff n=10 \end{gathered}$$.

Vậy n =10 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn đáp án C.